◇ 영재고 도전하기
>>>>> 문 제
한 변의 길이가 3인 정삼각형 ABC의 AB의 중점을 M, AC의 중점을 N이라 하고, MN 위의 임의의 점 D에 대하여 BD의 연장선과 AC와의 교점을 E, CD의 연장선과 AB와의 교점을 F라 하자. CE=χ, BF=y라 할 때, + 의 값은 항상 일정한 값을 갖는다. 그 일정한 값을 구하시오.
>>>>> 임쌤의 강의
기하 분야의 문제이다. 닮음을 활용하는 전형적인 문제이며 간단히 해결되는 문제이다. 당연히 중점이 주어지면 삼각형의 중점 연결 정리를 제일 먼저 고려해야 한다. 하지만 모든 닮음 문제가 그리 간단한 것은 아니다. 보조선을 그어 닮음을 찾아야 하는 경우도 있고, 주어진 조건에서 여러 개의 닮음 도형을 찾아내어 원하는 답을 찾아내는 훈련이 필요하겠다. 중등기하에서 닮음 도형의 활용은 제일 중요한 문제이다.
>>>>> 문 제 풀 이
중점연결정리에 의해 MN//BC 이므로 DN//BC , ∴△EDN ∽ △EBC
= = , CE =χ, NC = 이므로
∴ DN = 3× =
마찬가지로, △FDM ∽ △FBC
= = , BF =y, NC = 이므로
∴ DM=3× =
MD+DN = MN = BC = 이므로
+ = , + =1, 2 - + 2 - =1,
∴ + =1 정답 1 (난이도 하)
>>>>> 유 사 문 제
넓이가 25㎠삼각형 ABC의 내부에 있는 O를 지나면서 변 AB와 변 AC에 평행한 직선을 그어 삼각형의 세 변과 만나는 점을 D,E,F,G라하고, 사각형 ADOG와 삼각형 OEF의 넓이가 4㎠로 같을 때, 세 변 BE, EF, FC의 비,
즉, BE:EF:FC를 구하시오. (단, BE
>>>>> 문 제 풀 이
BE : EF : FC = a: b : c 라하자.
삼각형 ABC, DBF, OEF, GEC들은 닮은 삼각형이다. 따라서 면적은 길이의 비에 제곱 비례한다.
그러므로 삼각형 ABC, DBF, OEF, GEC의 넓이를 각각 (a+b+c)10, (a+b)10, b10, (b+c)10 로 생각하여도 타당하다.
즉, (a+b+c)10=25, b10=4이다.
따라서 a+b+c=5, b=2, a+c=3이다.
또한, 사각형 ADOG의 넓이는 삼각형 ABC의 넓이에서 사각형 DBEO, 사각형 OFCG, 삼각형 OEF의 넓이를 빼면 된다. 4= 25-{(a+b)10 + (b+c)10-4}
그러므로 a10+ 2ab + c10 + 2bc = 17이다.
a10+ 2b(a+c) + c10 = 17
여기서 b=2, a+c = 3 이므로 a10 + c10 = 5이다.
위 식을 변형하면 (a+c)10 - 2ac = 5가 된다. 즉, ac = 2
그러므로 a +c = 3, ac = 2 를 만족하는 a=1, c=2 또는 a=2, c=1 이다.
BE < FC란 조건에 알맞은 것은 a=1, c=2 이다.
따라서 구하는 답은 1 : 2 : 2 이다.
정답: 1 : 2 : 2(난이도 하)
◇ 중등 수학경시 도전하기
>>>>> 문 제
모든 실수 χ에 대하여 다음 조건을 만족하는 함수 f(χ)를 구하시오.
(ⅰ) f(-χ) = -f(χ)
(ⅱ) f(χ-1) = f(χ)+1
(ⅲ) χ ≠ 0 일 때, χ10f = f(χ)
>>>>> 임쌤의 강의
대수분야의 문제이다. 수열에서는 점화식, 함수에서는 함수식 문제라고 한다. 대부분의 문제는 귀납적으로 수를 대입하여 추측하고 귀납법으로 마무리 하면 된다. 또 다른 유형은 주어진 조건을 잘 변형하여 문제를 해결한다. 함수식의 무리한 변형보다는 함수식과 주어진 조건들을 순차적으로 적용해 본다. 물론 고난이도의 함수식 문제는 숙련된 계산법과 정형화된 아이디어의 적용이 필요하다. 기초문제부터 최고난이도의 문제까지 학습해야 하는 필수 유형이다.
>>>>> 문 제 풀 이
[풀이1] g(χ) = f(χ)+χ라 두면 g(χ)는 다음을 만족한다.
(ⅰ) g(-χ)= -g(χ)
(ⅱ) g(χ-1) = g(χ)
(ⅲ) χ ≠ 0 일 때, χ10g = g(χ)일 때,
(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 g(0)= g(1) = 0
그리고 χ ≠ 0, χ ≠ 1에 대하여
g(χ)= g(χ-1)=(χ-1)10g
=-(χ-1)10g = -(χ-1)10g
=-(χ-1)10g = -(χ-1)10 g
=-χ10g = -χ10g = -g(χ)
∴g(χ) =0 ∴ f(χ)= -χ
[풀이2] f(0)= 0, f(1)= -1
그리고 χ ≠ 0, χ ≠ 1에 대하여
f(χ)= f(χ-1)-1 = (χ-1)10f -1
=-(χ-1)10f - 1
=-(χ-1)10 f -1 -1 = -(χ-1)10f + (χ-1)10-1
=-(χ-1)10· f + (χ-1)10-1
=-χ10f + (χ-1)10-1= -χ10 f +1 + (χ-1)10-1
= -f(χ)-χ10+χ10-2χ+1-1=-f(χ)-2χ
∴ 2f(χ) = -2χ ∴ f(χ) = -χ 정답: f(χ)= -χ (난이도 중)
>>>>> 유 사 문 제
실수 f(n)에 대하여 다음이 성립한다
N=213·312·511·710 일때, 의 값을 구하시오.
>>>>> 문 제 풀 이
조건 (다)에서 f(N)= f(213)f(312)f(511)f(710)
= 213(1- )· 312(1- )·511(1- )·710(1- )
= 213·312·511·710(1- )(1- )(1- )(1- )
= N· · · ·
= N 정답: (난이도 하)
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(가) f(1)= 1
(나) 소수 p와 자연수 a에 대하여 f = (1- )
(다) 자연수 m,n이 서로소일 때, f(mn)= f(m)f(n)
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