◇ 영재고 도전하기
>>>>> 문 제
그림의 △ABC에서 AD:DB=1:2, AE:EC=3:1이다. BE=12일 때, EF의 길이를 구하여라.
>>>>> 임쌤의 강의
기하 분야의 문제이다. 닮음을 이용하여 선분의 길이의 비를 구하는 문제이다. 평행선과 선분의 길이 사이의 비를 잘 구하면 된다. 보조선을 잘 잡는 게 핵심 포인트가 되겠다. 또한 이 문제는 메넬라우스 정리를 이용하면 바로 해결할 수 있다. 하지만 경시준비를 준비하는 학생들은 이 정리를 여러 번 접해보았겠지만 실전에 자신 있게 적용하는 학생들은 많지 않은 듯하다. 이번 기회에 메넬라우스 정리를 이해하고 자유자재로 구사할 수 있도록 해보자. KMO나 IMO를 준비하는 학생들은 반드시 익혀야 한다.
[메넬라우스 정리]
△ABC에 대하여 하나의 직선이 AB,BC,CA 또는 그 연장선을 자르는 점을 각각 D,E,F라고 하면 × × =1이 성립한다.
[증명]
점 C를 지나 DE에 평행인 선분을 긋는다.
× × = × × = 1(∵BE:EC=DB:GD, CF:FA=GD:AD)
메넬라우스 정리의 내용과 증명은 위와 같다. 하지만 학생들은 많은 혼동을 느끼는 것 같다. 다음과 같은 두 원칙을 지키면서 잘 외워서 문제에 적용하길 바란다.
먼저 메넬라우스 정리를 적용할 삼각형과 삼각형을 자르는 직선을 잡는다.
제1원칙 : 분자의 시작점을 삼각형의 한 꼭짓점으로 잡는다. 그리고 끝점도 시작점이 된다.
제2원칙 : (삼각형의 한 꼭짓점→ 잘린 점 → 삼각형의 한 꼭짓점 → 잘린 점 → ... → 잘린 점 → 삼각형의 한 꼭짓점)의 순서로 점을 잡는다.
>>>>> 문 제 풀 이
△ABE를 직선 CFD로 자른다고 생각하면
× × = × × =1에서 BF:FE=8:1 이다. 그리고 BE=12일 때, EF= ×12 = 이다.
정답: (난이도 하)
>>>>> 유 사 문 제
BC=a, AC=b인 △ABC에서 BD=2CD, AE=EF=FD이다. BE, BF의 연장선과 AC와의 교점을 G,H라고 할 때, 다음 물음에 답하여라.
(1) GC를 b를 이용한 식으로 나타내어라.
(2) HC의 길이를 b를 이용한 식으로 나타내어라.
(3) AG:GH:HC를 가장 간단한 정수의 비로 나타내어라.
>>>>> 문 제 풀 이
(1)메넬라우스 정리에 의해여 (△ADC를 직선 BEG로)
× × = × × = 1
GC= AC= b
(2)메넬라우스 정리에 의해여 (△ADC를 직선 BFH로)
× × = × × =1. HC= AC= b
(3) (1), (2)에 의해서 AG= b, HC= b, GH= b
∴AG:GH:HC=7:9:12 정답: (1) b (2) b (3)7:9:12 (난이도하)
◇ 중등 수학경시 도전하기
>>>>> 문 제
검은 바둑돌 ●과 흰 바둑돌 ○을 일렬로 나열하였을 때 이웃한 두 개의 바둑돌의 색이 나타날 수 있는 유형은 ●● ●○ ○● ○○
예를 들어, 6개의 바둑돌을
>>>>> 임쌤의 강의
조합론 문제이다. 중복조합으로 해결하는 게 가장 빠른 방법이다. 조합의 원리로도 해결가능 하지만 결국 중복조합에 대한 수학적 문제로 귀결된다.
즉, 서로 다른 n개의 숫자에서 r개를 택하는 중복조합의 수 는 각 조합의 첫 번째, 두 번째,… ,r번째 숫자에 각각 0, 1, 2, …, r-1을 더하여 생긴 서로 다른 (n+r-1)개의 숫자에서 r개를 택하는 조합의 수 와 같다. 즉, = 이다. 경시수학, 영재고 입시에서 원리적 방법에 의한 문제 해결이나 창의적 문제 해결력을 요구하고 있기는 하지만 현실적으로 학습에 의한 문제의 풀이도 무시할 수는 없다. `아는 만큼 보인다.`는 일상의 진리가 입시에서도 통한다.
>>>>> 문 제 풀 이
●○●○● 또는 ○●○●○
(ⅰ) ●○●○●인 경우 1번의
(ⅱ) ○●○●○인 경우 같은 방법으로 × = × = 15
따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 경우의 수는 45 정답: 45 (난이도 상)
>>>>> 유 사 문 제 1
다음 조건을 만족시키는 네 자리 자연수의 개수는?
>>>>> 문 제 풀 이
네 자리 자연수의 각 자리의 수를 각각 χ,y,z,w 라 하면 χ+y+z+w=14
χ,y,z,w가 모두 홀수이므로 χ=2a+1,y=2b+1,z=2c+1,w=2d+1(단 a,b,c,d는 0 이상 4 이하의 정수)
(2a+1)+(2b+1)+(2c+1)+(2d+1)=14 a+b+c+d=5
a, b, c, d 중에서 중복을 허락하여 5개를 택한다. 이때 a, b, c, d는 4이하의 정수이므로 한 가지만 5번 택하는 4가지 경우는 제외한다.
-4 = -4 = -4 = -4 = 52 정답: 52 (난이도 중)
>>>>> 유 사 문 제 2
크기가 같은 정육면체 모양의 블록 12개를 모두 사용하여 쌓은 입체도형을 만들려고 한다. 이 도형을 위에서 내려다 본 모양이 <그림1>, 정면을 기준으로 오른쪽 옆에서 본 모양이 <그림2>와 같이 되도록 만들 수 있는 방법의 수를 구하시오. (단, 블록은 서로 구별하지 않는다.)
>>>>> 문 제 풀 이
입체도형의 형태를 추론하고 중복조합을 이용하여 경우의 수를 구한다.
1층에 6개를 모두 쌓은 후 남은 6개를 쌓는 방법은 다음과 같다.
ⅰ) 2층 앞줄에 모두 1개씩 쌓는 경우 × =12
ⅱ) 2층 앞줄 두 곳 중 한 곳에만 1개를 쌓는 경우 뒷줄 네 곳 중 한 곳에 3개를 쌓고 나머지 세 곳에 중복을 허락하여 2개를 쌓으면 되므로 × × = 48
따라서 12+48=60 정답: 60 (난이도 중)
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