지난 15일 수능이 마무리됐다. 여느 때와 달리 평온한 날씨였지만 한 번에 모든 것을 쏟아내야 하는 수험생들은 그런 것도 느끼지 못했으리라! 고 3은 이제 남은 수시 준비와 수능 결과에 따라 자신의 대학을 선택하고 합격을 기다려야 할 시기가 됐다. 이제 고 3에 가려져 있던 고등학교 1학년과 2학년 대상으로 오는 21일에 수능 모의고사를 전국적으로 실시한다. 이에 대비해 학생들이 해석해야 하는 함수 문제 세 개를 통해 모의고사의 문제 방향에 대해 알아보자.
1. 이차함수 y=x²-ax+a 그래프에 대해 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?(단, a는 실수다.)
(2016년 3월 고1 모의고사)
보기
ㄱ. 점(1, 1)을 지난다.
ㄴ. x축 방향으로 -a/2(분수) 만큼 평행이동한 그래프는 y축에 대칭이다.
ㄷ. 꼭짓점이 x축 위에 있도록 하는 a의 개수는 1 이다.
해설
ㄱ. 점 (1.1)을 대입하면 좌우변이 모두 1로 같으므로 성립한다. [참]
ㄴ. y=x²-ax+a=(x-(a/2))²-(a²/4)+a 이므로 꼭짓점이 (a/2, -(a²/4)+a)이고 대칭축이 x=(a/2)이다. 따라서 x축 방향으로 -a/2만큼 평행이동하면 대칭축이 y축으로 이동하므로 y축 대칭이다. [참]
ㄷ. 꼭짓점이 x축 위에 있기 위해선 꼭짓점 y좌표가 0이 돼야 하므로, ㄴ에서 -(a²/4)+a=0이 돼야 한다. 그러므로 a=0 또는 a=4로 2개다. [거짓] 답은 ㄱ, ㄴ
2. 이차함수 f(x)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) f(1) = 0
(나) 모든 실수 x에 대해 f(x)≥f(3) 이다.
보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ( 2015년 6월 고1 모의고사)
보기
ㄱ. f(5) = 0
ㄴ. f(2) < f(1/2) < f(6)
ㄷ. f(0) = k 라 할 때, x에 대한 방정식 f(x) = kx의 두 실근 합은 11 이다.
풀이
ㄱ. (나)에서 x=3에서 최솟값을 갖는다(아래로 볼록)는 것을 알 수 있다.
x=3이 대칭축이고, (가)에 의해 f(1)=0, f(5)=0이라는 것 또한 알 수 있다.
따라서 ㄱ은 정답!!! [참]
ㄴ. 대칭축 x=3을 기준으로 그래프에 표시해보면, f(2) 함숫값보다 f(1/2) 이 위에 있고, 역시 f(6)은 더 위에 있다는 것을 알 수 있다. x=3이라는 축을 기준으로 멀리 떨어져 있을수록 함수값이 더 크다. [참]
ㄷ. f(x)=a(x-1)(x-5)
f(0)=5a=k라 하면, f(x)=kx의 두 실근 합을 구해보자
a(x-1)(x-5)=5ax를 정리하면 ax²-11ax+5a=0
따라서 두 실근 합=11, ㄷ 또한 옳다 [참] 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 정답
3. 집합 X={1, 2, 3, 4} 에 대해 X에서 X로의 일대일 대응인 함수 f가 다음 조건을 만족시킨다.
<조건>
(가) 집합 X의 모든 원소 x에 대해 (f·f)(x) = x 이다.
(나) 집합 X의 어떤 원소 x에 대해 f(x)=2x 이다.
보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (2016년 3월 고2 모의고사 20번)
<보기>
ㄱ. f(3) =f-9(3)
ㄴ. f(1)=3 이면 f(2)=4 이다.
ㄷ. 가능한 함수 f의 개수는 4 이다.
해설
ㄱ. 일대일 대응이며 조건 (가)에서 (f·f)(x)=x이므로 f(x)=f-9(x)이다. 따라서 f(3)=f-9(3)이다. (참)
ㄴ. 조건 (나)에서 어떤 원소에 대해 f(x)=2x이기 위해서는 f(1)=2 또는 f(2)=4 둘 중 하나다. 그러므로 f(1)=3 ≠2이기 때문에 f(2)=4이다. (참)
ㄷ. 조건 (가), (나)를 모두 만족시키는 함수를 고려했을 때 일단 조건 (나)를 활용해 세 가지 경우로 나눈다.
ⅰ) f(1)=2, f(2)≠4 일 경우
f(2)=1이고 f(3)과 f(4)의 치역만 선택하면 되므로 2가지
ⅱ) f(2)=4, f(1)≠2일 경우
f(4)=2이고 f(1)과 f(3)의 치역만 선택하면 되므로 2가지
ⅲ) f(1)=2, f(2)=4일 경우
조건 (가)를 만족시키지 않으므로 성립하지 않는다.
ⅰ,ⅱ,ⅲ에서 가능한 함수의 개수는 개다. (참)
김우환 스파르타 영수학원장
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