[영재 교육원 문제]
문제1. 정육면체로 주사위를 만드는데 마주 보는 면의 수의 합이 7이 되게 하려고 한다. 각 면에 쓰인 숫자 배열이 다른 주사위는 모두 몇 가지인가?
[풀이]
윗면과 아랫면에 1과 6을 고정하면, 남은 면에 올 수 있는 순서쌍은
(3, 4), (2, 5) 이다. 정육면체를 직접 만들어 보면 2가지 경우의 수가 생긴다.
답 2가지
문제2. 어떤 수학시험에서 각 문제의 정답을 맞히면 5점씩 주고, 틀리면 0점을 주고, 답을 쓰지 않는 경우엔 최고 5개까지만 각각 1점씩 준다. 예컨대 모두 답을 쓰지 않으면 5점을 얻게 된다. 이 수학시험에서 15문제를 풀었을 때, 0점부터 75점까지 중 나올 수 없는 점수는?
[풀이]
다음과 같이 가능한 모든 경우를 표로 정리할 수 있다.
맞은 것 틀린 것 답을 안 쓴 것 총점
15 0 0 75
14 0 1 71
14 1 0 70
13 0 2 67
13 1 1 66
13 2 0 65
12 0 3 63
12 1 2 62
12 2 1 61
12 3 0 60
11 0 4 59
이 표는 경우를 오직 11개만을 맞춰서 얻을 수 있는 가장 높은 점수와 적어도 12개를 맞춰서 나온 점수 중 가능한 모든 경우를 나타낸 것이다. 이제 우리는 만약 우리가 정답 하나를 오답으로 바꿀 때마다 총점이 5점 씩 떨어지는 것을 알 수 있다. 또한 총점 중 연속한 5개의 점수 59, 60, 61, 62, 63에 의해 59점 아래는 모두 가능하다는 것을 알 수 있다.
따라서, 나올 수 없는 점수는 64, 68, 69, 72, 73, 74점이다.
답 64, 68, 69, 72, 73, 74점
문제3. 큰 주머니 속에 6039개의 초콜릿이 들어 있다. 그 들 중 2004개는 홍색, 2005개는 청색, 2006개는 황색이고, 나머지 24개는 흑색과 백색 초콜릿이 섞여 있다. 초콜릿은 모두 크기와 모양은 같은데 색깔만 다르다. 색이 보이지 않게 눈을 가리고 임의로 초콜릿을 n개 꺼내어 보았을 때, 초콜릿들 중 똑 같은 색 초콜릿이 반드시 25개가 되도록 하기 위한 n의 최솟값은?
[풀이]
24개의 홍색, 24개의 청색, 24개의 황색, 24개의 흑백 초콜릿을 모두 꺼낸 후 하나의 초콜릿만 더 꺼내면,
홍, 청, 황색 중 어느 하나는 반드시 25개가 된다. 즉, 적어도 4 X 24 + 1 = 97(개)의 초콜릿을 꺼내야 색이 같은 초콜릿 25개를 반드시 꺼낼 수 있게 된다.
따라서, 반드시 조건을 만족할 수 있는 n의 최솟값은 97이다.
답 97 개
문제4. 문자 a, b, c를 이용하여 3개 이하의 문자로 구성된 단어를 모두 만들고 그것을 알파벳 순으로 된 사전식 배열로 나타내려고 한다. 이 때, 나타낼 수 있는 단어들은 모두 몇 가지인가?
[풀이]
세 자리 이하의 수를 만든다고 생각하면 된다. 즉, 한 자리 수는 a, b, c의 세 가지가 있고, 두 자리 수는 10의 자리에 a, b, c 중 어느 한 가지가 와야 하므로 3 X 3 세 가지가 있고, 그 각각에 대하여 일의 자리에도 마찬가지로 a, b, c 중 어느 한 가지가 와야 하므로 3 X 3 = 32 (가지)가 있다. 세 자리 수의 경우도 마찬가지로 생각하여 33 가지가 있다. 따라서 모든 가짓수는 3 + 32 + 33 = 39(가지)임을 알 수 있다.
답 39 가지
<저작권자ⓒ대전일보사. 무단전재-재배포 금지>
문제1. 정육면체로 주사위를 만드는데 마주 보는 면의 수의 합이 7이 되게 하려고 한다. 각 면에 쓰인 숫자 배열이 다른 주사위는 모두 몇 가지인가?
[풀이]
윗면과 아랫면에 1과 6을 고정하면, 남은 면에 올 수 있는 순서쌍은
(3, 4), (2, 5) 이다. 정육면체를 직접 만들어 보면 2가지 경우의 수가 생긴다.
답 2가지
문제2. 어떤 수학시험에서 각 문제의 정답을 맞히면 5점씩 주고, 틀리면 0점을 주고, 답을 쓰지 않는 경우엔 최고 5개까지만 각각 1점씩 준다. 예컨대 모두 답을 쓰지 않으면 5점을 얻게 된다. 이 수학시험에서 15문제를 풀었을 때, 0점부터 75점까지 중 나올 수 없는 점수는?
[풀이]
다음과 같이 가능한 모든 경우를 표로 정리할 수 있다.
맞은 것 틀린 것 답을 안 쓴 것 총점
15 0 0 75
14 0 1 71
14 1 0 70
13 0 2 67
13 1 1 66
13 2 0 65
12 0 3 63
12 1 2 62
12 2 1 61
12 3 0 60
11 0 4 59
이 표는 경우를 오직 11개만을 맞춰서 얻을 수 있는 가장 높은 점수와 적어도 12개를 맞춰서 나온 점수 중 가능한 모든 경우를 나타낸 것이다. 이제 우리는 만약 우리가 정답 하나를 오답으로 바꿀 때마다 총점이 5점 씩 떨어지는 것을 알 수 있다. 또한 총점 중 연속한 5개의 점수 59, 60, 61, 62, 63에 의해 59점 아래는 모두 가능하다는 것을 알 수 있다.
따라서, 나올 수 없는 점수는 64, 68, 69, 72, 73, 74점이다.
답 64, 68, 69, 72, 73, 74점
문제3. 큰 주머니 속에 6039개의 초콜릿이 들어 있다. 그 들 중 2004개는 홍색, 2005개는 청색, 2006개는 황색이고, 나머지 24개는 흑색과 백색 초콜릿이 섞여 있다. 초콜릿은 모두 크기와 모양은 같은데 색깔만 다르다. 색이 보이지 않게 눈을 가리고 임의로 초콜릿을 n개 꺼내어 보았을 때, 초콜릿들 중 똑 같은 색 초콜릿이 반드시 25개가 되도록 하기 위한 n의 최솟값은?
[풀이]
24개의 홍색, 24개의 청색, 24개의 황색, 24개의 흑백 초콜릿을 모두 꺼낸 후 하나의 초콜릿만 더 꺼내면,
홍, 청, 황색 중 어느 하나는 반드시 25개가 된다. 즉, 적어도 4 X 24 + 1 = 97(개)의 초콜릿을 꺼내야 색이 같은 초콜릿 25개를 반드시 꺼낼 수 있게 된다.
따라서, 반드시 조건을 만족할 수 있는 n의 최솟값은 97이다.
답 97 개
문제4. 문자 a, b, c를 이용하여 3개 이하의 문자로 구성된 단어를 모두 만들고 그것을 알파벳 순으로 된 사전식 배열로 나타내려고 한다. 이 때, 나타낼 수 있는 단어들은 모두 몇 가지인가?
[풀이]
세 자리 이하의 수를 만든다고 생각하면 된다. 즉, 한 자리 수는 a, b, c의 세 가지가 있고, 두 자리 수는 10의 자리에 a, b, c 중 어느 한 가지가 와야 하므로 3 X 3 세 가지가 있고, 그 각각에 대하여 일의 자리에도 마찬가지로 a, b, c 중 어느 한 가지가 와야 하므로 3 X 3 = 32 (가지)가 있다. 세 자리 수의 경우도 마찬가지로 생각하여 33 가지가 있다. 따라서 모든 가짓수는 3 + 32 + 33 = 39(가지)임을 알 수 있다.
답 39 가지
<저작권자ⓒ대전일보사. 무단전재-재배포 금지>
