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김찬호 원장의 ‘색다른 수학 풀이’(13일)

2011-12-13기사 편집 2011-12-12 21:37:41

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서술형 평가 완벽대비 <대전 둔산서전학원장>

◇영재 교육원 문제

△문제1

대칭축을 갖는 볼록 2007각형이 있다. 이 대칭축은 반드시 한 꼭짓점을 지난다는 것을 증명하라. 그리고 만약 볼록 2007각형이라면 어떠할지 설명하라.



[풀이] 만일 볼록 2007각형의 대칭축이 꼭짓점을 지나지 않는다면 대칭축을 기준으로 꼭짓점의 개수가 반반씩 나뉠 수 없다. 왜냐하면 꼭짓점의 개수가 홀수 개이기 때문이다. 그러므로 볼록 2007각형의 대칭축은 반드시 한 꼭짓점을 지난다. 그러나 2006각형이라면 그 대칭축은 꼭짓점을 지날 수도 있고 안지날 수도 있다.    답 : 풀이 참조



△문제2

철수는 96장으로 된 노트를 사서 각 페이지에 1에서 192까지의 번호를 매겼다. 동생 영희가 그 노트에서 25장을 뜯어낸 부분에 적혀있는 50개의 페이지 번호를 모두 합하였다. 이들 숫자를 전부 더해서 2008이 되는 일이 있을 수 있을까? 그 답을 말하고 이유를 설명하라.



[풀이] 있을 수 없다. 왜냐하면 1장의 앞쪽과 뒤쪽의 페이지 번호의 합은 반드시 홀수가 되기 때문이다. 25장의 페이지 번호를 모두 합하면 홀수 번(25번) 더해지므로 홀수가 된다. 그러므로 그들 숫자를 전부 더해서 2008(짝수)이 된다는 것은 있을 수 없다.   답 : 풀이 참조



△문제3

각 자리의 숫자로 자신을 나누면, 나누어떨어지는 그런 두 자리 자연수들은 모두 몇 개인가?



[풀이] 두 자리 자연수를 ab=10a+b라 하면, a가 10a+b를 나누려면 a가 b를 나눠야 한다. 그리고 b가 10a+b를 나누려면, b가 10a로 나누어야 한다.

1) a=b인 경우 :11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 즉 99가지이다.

2) b=2a인 경우 : 12, 24, 36, 48 즉 4가지 이다.

3) b=5a인 경우 : 15 즉, 1가지이다. 따라서 9+4+1=14이다.    답 : 14(가지)



△문제4

24kg의 아주 고운 금모래가 있다. 이제 양팔 저울을 이용해서 9kg의 금모래를 덜어내고자 한다. 어떻게 해야 하는가?



[풀이] 양팔 저울을 이용하여 금모래를 양분(이등분)해서 12kg, 6kg, 3kg 등으로 덜어낼 수 있다. 그러므로 6kg과 3kg을 얻어내서 더하면 된다.   답 : 풀이 참조



△문제5

철수네 할머니는 비가 오기 전에는 언제나 무릎이 쑤신다고 한다. 오늘 아침에 철수 할머니께서 무릎이 쑤신다고 하시면서 고통스러워하셨다. 철수가 이를 보고서 '오늘 비가 오겠구나.'라고 생각하였다. 철수의 이 생각은 반드시 옳은 것일까?



[풀이] 반드시 옳다고 볼 수 없다. 왜냐하면 비가 올 때에 무릎이 아프다고 한 것을 두고, 비가 안 올 때는 무릎이 안 아프다고 당연스레 말 할 수 없다. 즉 오늘 할머니께서 아픈 것은 어쩌면 넘어져 다쳤거나 다른 이유로 아플 수도 있는 것이다. 비슷한 예로 성적이 오르면 어머니께서 좋은 컴퓨터를 사 주신다고 했을 때, 마침 어머니께서 좋은 컴퓨터를 사주신 것을 두고 성적이 올랐다고 단정해서는 안 되는 것처럼 말이다. 어머니께서 약속한 것은 성적이 오르는 경우에 대하여만 약속하였지 성적이 오르지 않을 경우에는 안 사준다고 약속한 것은 아니다. 물론 일상생활에서 위의 설명이 그대로 적용되는 것은 아니지만 적어도 논리적으로는 그렇다는 뜻이다.   답 : 풀이 참조

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