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김찬호 원장의 ‘색다른 수학 풀이’(29일)

2011-11-29기사 편집 2011-11-28 22:40:07

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서술형 평가 완벽대비-<대전 둔산서전학원장>

◇영재교육원 문제

△문제1

한 변의 길이가 1cm인 정사각형 모양 100칸짜리의 체스 판에서 대각선 귀퉁이가 잘린 체스 판을 상상해보자. 그렇다면 이 체스 판은 총 98개의 검은 조각과 흰 조각으로 이루어지게 된다.

이 체스판을 <그림1>과 같은 2칸짜리(가로 2cm, 세로 1cm) 타일로 모두 덮으려고 한다. 이 타일 조각 하나는 체스 판의 두 칸을 정확히 덮을 수 있다. 49개의 조각으로 이 체스 판을 모두 덮을 수 있을까? (단, 같은 색끼리 덮어야 한다.)



[풀이] 결론부터 말하면 '불가능'이다. 현재 체스 판에는 48개의 흰 사각형과 50개의 검은 사각형이 존재한다. 체스 판을 문제에서 12의 타일로 모두 덮을 때, 하나의 조각으로 서로 맞붙어 있는 두 개의 사각형을 덮을 수 있다. 그런데 맞붙어 있는 두 개의 사각형은 항상 색깔이 다르다. 즉 둘 중 하나는 검고 하나는 희다.

따라서 주어진 조각 <그림1>들을 49개 배열하는데 검은 칸에 <그림1>조각의 검은 것이 오도록 덮고 흰 칸에는 <그림1>의 흰 것이 오도록 덮는다. 그렇게 해서 우선 <그림1>들을 48개 덮고 나면 체스 판에는 48개의 검은색 사각형과 48개의 흰색 사각형이 주어진 조각으로 덮이게 된다.

이제 마지막에 <그림1>을 하나 덮으려고 하는데 문제는 검은 사각형만 둘이 있게 되고 그것이 서로 떨어져 있으므로 <그림1>을 하나 덮는 것은 불가능함을 알 수 있다. 따라서 주어진 체스 판을 주어진 타일 <그림1>으로 모두 덮는 것은 불가능하다는 것을 금방 알 수 있다.

답 : 불가능하다.



△문제2

다음 그림과 같은 의 체스 판의 제일 왼쪽 맨 아래쪽 검은 칸에 나이트(말)를 하나 올려놓았다. 체스의 규칙에 따르면 나이트(말)는 한 번 움직일 때마다 가로로 1칸, 세로로 2칸 옮긴 위치로 놓거나 혹은 가로로 2칸, 세로로 1칸 옮긴 위치로 놓는다고 한다. 나이트를 체스의 규칙대로 움직여서 도중에 나머지 모든 칸을 1번씩 다 지나도록 한 다음 마지막에 제일 오른쪽 맨 위의 검은 칸에서 오도록 할 수 있을까?



[풀이] 불가능하다. 말은 한 번 옮길 때마다 반대되는 색의 칸으로 옮겨지게 됨을 알 수 있다. 따라서 같은 색의 칸으로 가는 데는 짝수 번 움직여야 한다. 그런데 문제에서 64칸이므로 모든 칸을 다 지나려면 63번을 움직여야 한다. 즉 처음 칸과 제일 마지막 칸의 색이 다르게 된다. 그런데 제일 오른쪽 맨 위의 검은 칸은 처음 칸과 같은 색이다. 따라서 불가능하게 된다.

답: 불가능하다.

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