김찬호 원장의 ‘색다른 수학 풀이’(10월 11일)

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◇영재교육원 문제



△문제1

어떤 약사가 가짜 약을 판별하는데 5개의 약 중에서 2개의 약이 가짜라고 한다. 이 때 3개씩 묶어 약을 판별할 때, 묶음 속에 가짜 약이 하나라도 들어있으면 빵하고 소리가 난다고 한다. 가짜 약 2개 모두를 골라내는데 적어도 x번을 판별하면 아무리 재수가 없다 하더라도 반드시 알아 샐 수 있다. x의 값은?



[풀이]



5개의 약 A, B, C, D, E 중 가짜 약 A, B가 있을 때, 3개씩 고르는 방법의 수는 =10(가지)이다. 그것을 일일이 적어본다면 다음과 같다.

(ABC), (ABD), (ABE), (ACD), (ACE), (ADE), (BCD), (BCE), (BDE)

여기까지 (9회 검사) 검사하면 빵 소리가 나긴 하지만, 재수없게도 묶음 속에 있는 3개 중 어느 것이 가짜인지 모르게 된다. 그런데 마지막 남은 경우는 (CDE) 뿐인데 이것을 검사하면 빵 소리가 나지 않으므로 묶음에 포함되지 않은 A, B가 바로 가짜 약임을 알게 된다. 그런데 이 (CDE)는 검사할 필요가 없다. 왜냐하면 모든 경우의 수 중 마지막 남은 1가지 경우이므로 검사할 필요 없이 추론하는 것만으로도 잘 알 수 있는 사실이기 때문이다. 따라서 총 9회만의 검사로도 가능하다. 그러므로 x의 값은 9이다.



답 9







△ 문제2

[그림참조]

흰 돌, 검은 돌이 위 그림과 같이 놓여 있다. 위와 같이 흰 돌, 검은 돌의 개수가 같게 안에는 흰 돌, 바깥쪽은 검은 돌로 배열하는 방법의 수는 몇 가지인가? (전체 개수는 위 예와 같을 필요가 없고, 모두 직사각형 형태로 배열되어 있다. 가로로 x개, 세로로 y개가 놓인 경우로 생각하여 답하여라.)





[풀이]



(1) 전체 개수는 xy이다.



(2) 검은 공의 개수는 이다.



(3) 흰 공의 개수는 (x-2)(y-2)개이다.



∴ =(x-2)(y-2) ,



(x-4)(y-4) = 8



∴(x,y)=(5, 12), (6, 8), (8, 6), (12,5)



따라서 모두 4가지이다.





답 4가지



△문제3

1에서 1000까지의 자연수 중에서 연속하는 세 수끼리 묶어서 1쌍을 만들고 그들의 합을 구하였을 때, (4, 5, 6)처럼 그 합이 15의 배수가 되는 것은 모두 몇 쌍이나 되는가? 예 컨데, 4 + 5 + 6과 같은 것들이 몇 쌍이나 되는가를 묻고 있다.





[풀이]

(n - 1) + n + (n + 1) = 3n이 15의 배수가 되기 위해서는 가운데 수 n이 5의 배수이어야 한다. 즉, 가운데 수는 5, 10, 15, ∙∙∙, 995까지 생각할 수 있다.

따라서 모두 139장이다.





답 139장



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