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김찬호 원장의 ‘색다른 수학 풀이’(9월 20일)

2011-09-20기사 편집 2011-09-19 06:00:00

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서술형 평가 완벽대비

◇영재교육원 문제

△문제1

오른쪽 그림처럼 각 둘레가 2000m인 3개의 고리 모양의 자동차 도로가 A점에서 교차하고 있다. 3대의 자동차가 A지점에서 동시에 출발하여 각자 한 개씩 고리 모양 도로위를 반복하여 질주하고 있다. 각 자동차는 시간당 50km, 70km, 90km의 속도로 달린다고 한다. 처음 출발한 이후 세 자동차가 A에서 모두 만나는데 100번째 만날 때까지 걸리는 시간을 구하여라.

[풀이] 25, 35, 45의 최대공약수는 5이고 25÷5=5, 35÷5=7, 45÷5=9이므로, 3대의 자동차가 5바퀴, 7바퀴, 9바퀴를 돌면 1번 만난다. 그리고 이 때 걸리는 시간은

x 5= x 7= x 9=(시간)이다. 따라서 100번째 만나는 데 걸리는 시간은 x 100=20(시간) 이다.



답: 20 시간



△문제2

A, B, C, D 4 명이 노래를 불렀다. 노래를 부를 때는 한 곡을 항상 3명씩 합창하였다. A가 가장 많은 9곡을 불렀고, D가 가장 적은 5곡의 노래를 불렀다고 한다. 이 때, 이들이 부른 노래의 총 곡의 수로 가능한 모든 수들의 합을 구하여라. (단, 9곡과 5곡을 부른 사람은 각각 A와 D뿐 이라고 한다.)



[풀이] A=9 > B, C >D=5이다. 그러므로 B, C로서 가능한 것들은 6, 7, 8이다.

그리고

A+B+C+D=14+B+C이고, 이것은 3의 배수이다. 그러므로 B+C를 3으로 나눈 나머지는 1이다.

여기서 가능한 경우는 B+C=8+8, 7+6의 두 가지 경우가 있다. 즉, 가능한 총 곡 수는 30 ÷ 3=10(곡) 과 27÷3=9(곡)이므로 정답은 19곡이다.



답: 19곡



△문제 3

네 자매가 각자 소유한 금화를 모두 합하면 104개이다. 첫째가 먼저 자기의 금화 중 일부분을 취하여 세 동생의 금화의 수가 각각 1배씩 더 커지게끔 나누어 주었다. 둘째도 첫째의 방법을 본 따서 자기에게 있는 금화 중 일부를 취하여 언니와 두 동생의 금화 수가 각각 1배씩 더 커지게끔 나누어 주었다. 셋째도 두 언니의 방법을 본 따서 자기에게 있는 금화 중 일부를 취하여 두 언니와 동생의 금화 수가 각각 1배씩 더 커지게끔 나누어주었다. 마지막에 막내도 세 언니의 방법을 본따서 자기의 금화를 세 언니에게 나누어주었다. 그 결과 첫째의 금화 수는 넷째의 6배가 되었고, 둘째의 금화 수는 넷째의 4배가 되었으며 셋째의 금화수는 넷째의 2배가 되었다.

그렇다면 맨 처음 첫째가 가지고 있던 금화의 수는 몇 개였을까?

[풀이]

(1) 우선 마지막에 네 자매가 가지게 된 금화의 개수부터 구하자.

금화의 총 수는 104개이고 첫째에게 있던 금화는 넷째의 6배이며 둘쨰에게 있는 금화는 넷째의 4배이었고, 셋째에게 있는 금화는 넷째의 2배이었으므로 막내를 제외한 세 자매의 금화는 막내의 6+4+2=12(배)임을 알 수 있다. 그러므로 금화 104개는 막내에게 있는 금화의 13배이다. 따라서 마지막에 막내가 소유한 금화는 다음과 같이 계산된다.

104 ÷13=8(개)

또한 첫째, 둘째, 셋째가 마지막에 소유한 금화는 각각 차례로 48개, 32개, 16개임을 알 수 있다.



(2)이번에는 위에서 구한 것을 토대로 하여 거꾸로 추리하면서 네 자매가 원래부터 소유했던 금화의 개수를 구해보자.

첫째 48→ 24→ 12→ 6→ 55

둘째 32→ 16→ 8→ 56→ 28

셋째 16→ 8→ 56→ 28→ 14

넷째 8→ 56→ 28→ 14→ 7

따라서, 원래 첫째가 가지고 있던 금화는 55개이었음을 알 수 있다.

답: 55개

<김찬호 둔산서전학원장>



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첨부사진2문제1

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