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[에듀캣] 방샘과 함께하는 고난도 문제 정복하기

2019-08-18기사 편집 2019-08-18 15:20:28

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[13화] 함수

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고등학교에서 배우는 함수는 중등과정의 연장선이다. 정의·치역·공역이나 일대일 함수·일대일 대응 등 같아 보이지만 차이를 명확하게 알아둬야 한다. 난이도는 쉬운 편이나 학생들이 대체적으로 합성함수 또는 역함수 파트를 어렵다고 느낄 수 있다. 개념을 정리하고 난 뒤 다양한 문제를 풀어보며 기본기를 확실히 다져야 한다.



★ 함수

두 집합 X, Y에 대해 X의 각 원소에 Y의 원소가 오직 하나씩 대응할 때, 이 대응을 X에서 Y로의 함수라 하고

기호 f: X→Y로 나타낸다.

(1) 정의역 : 집합 X

(2) 공역 : 집합 Y

(3) 치역 : 함수값 전체의 집합, 즉 {f(x)│x∈X}





★ 여러 가지 함수

1. 일대일함수 : 함수 f:X→Y에서 정의역 X의 두 원소 x9, x10에 대하여 x9≠x10이면 f(x9)≠f(x10)

2. 일대일대응 : 함수 f:X→Y가 일대일함수이고, 치역과 공역이 같은 함수

3. 항등함수 : 함수 f:X→Y에서 정의역 X의 각 원소 x에 그 자신 x가 대응하는 함수. 즉 f(x)=x인 함수

4. 상수함수 : 함수 f:X→Y에서 정의역 X의 모든 원소 x에 공역 Y의 단 하나의 원소 c가 대응하는 함수.

즉 f(x)=c(c는 상수)인 함수





★ 합성함수

합성함수 : 두 함수 f:X→Y, g:Y→Z에 대해 X의 각 원소 x에 Z의 원소 g(f(x))를 대응시키는 함수를 f와 g의 합성함수라 하고, 기호로 g·f와 같이 나타낸다.

즉 g·f : X→Z, (g·f)(x)=g(f(x))



★ 역함수

함수 f:X→Y가 일대일 대응일 때, Y의 임의의 원소 y에 대해 y=f(x)인 X의 원소 x를 대응시키는 새로운 함수를

함수 f의 역함수라 하고, 기호 f-(위쪽 1앞으로 수정필요)9

f-(위쪽 1앞으로 수정필요)9:Y→X, x=f-(위쪽 1앞으로 수정필요)9(y)



1. 두 함수 f(x)와 g(x)에 대해 h(x)=f(x)+g(x)라 할 때, h(x)가 다음 두 조건을 만족시킨다.

(가) h(x)는 일대일 대응이다.

(나) f(h(x))=g(x), g(h(x))=f(x)



이때, f(10)+g(20)의 값을 구하시오.



(1) h(x)=f(x)+g(x) 에 x 대신 h(x)를 대입해서 일대일 대응을 나타내라

h(x)=f(x)+g(x)에 x 대신 h(x)를 대입하면

h(h(x))=f(h(x))+g(h(x))=g(x)+f(x)=h(x)

∴h(h(x))=h(x)

따라서 h(x)는 조건 (가)에서 일대일 대응이므로 h(x)=x



(2) 조건 (나)에 의해서 f(h(x))=f(x)=g(x)이므로 대입하시오.

h(x)=f(x)+g(x)

h(10)=f(10)+g(10)=2f(10)=10

h(20)=f(20)+g(20)=2g(20)=20

∴f(10)+g(20)=½*(10+20)=15





2. 집합 S={n│1≤n≤100, n은 9의 배수}의 공집합이 아닌 부분집합 X와 집합 Y={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}에 대해

함수 f:X→Y를 f(n)은 'n을 7로 나눈 나머지'로 정의하자.

이때 함수 f(n)의 역함수가 존재하도록 하는 집합 X의 개수를 구하시오.



(1) 역함수가 존재하려면 일대일 대응이다.



함수 f 함수값은

f(9)=f(82)=2, f(18)=f(81)=4, f(27)=f(90)=6

f(36)=f(99)=1, f(45)=3, f(54)=5, f(63)=0 이다.



이 때 함수 f(n)의 역함수가 존재하려면 일대일 대응이 되어야 하므로 f는 일대일함수이면서 공역과 치역이 같아야 한다. 즉, 정의역 X의 원소가 공역 Y의 원소 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6에 각각 하나씩 대응돼야 한다.



(2) f(n)의 값을 이용해 집합 X 개수를 구하여라.



f(n)=0을 만족시키는 n의 값은 63로 1개

f(n)=1을 만족시키는 n의 값은 36, 99로 2개

f(n)=2을 만족시키는 n의 값은 9, 72로 2개

f(n)=3을 만족시키는 n의 값은 45로 1개

f(n)=4을 만족시키는 n의 값은 18, 81로 2개

f(n)=5을 만족시키는 n의 값은 54로 1개

f(n)=6을 만족시키는 n의 값은 27, 90으로 2개



따라서 함수 f의 역함수가 존재하기 위한 집합 X의 개수는



1*2*2*1*2*1*2=16

∴16개



방준성 대전스터디입시학원장



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