★ 평행이동

점의 평행이동

점 P(x, y)를 x축 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 점 P`의 좌표는

P`(x+a, y+b) 이다.

이때 이 평행이동을 P(x, y) → P`(x+a, y+b)로 나타낸다.

도형의 평행이동

좌표평면에서 방정식 f(x, y)=0 이 나타내는 도형을 F, 도형 F를 x축 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 도형을 F`라고 하자.

도형 F위의 점을 P(x, y)라고 하면

f(x, y)=0

점 P를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 점을 P`(x`, y`)라 하면

x=x`+a, y=y`+b

∴x`=x-a, y`=y-b

이를 f(x, y)=0에 대입하면

f(x-a, y-b)=0

(1) 평행이동 (x+2, y+3) → (x+4, y)에 의해 원 x10+(y-1)10=9를 평행이동한 원이

직선 5x-12y+k=0과 서로 다른 두점에서 만나도록 하는 실수 k 값의 범위가 m n-m의 값을 구하시오.

* 평행이동 및 도형의 이동의 개념하여 원의 방정식을 구하기

평행이동 (x+2, y+3) → (x+4, y)는 x축의 방향으로 2만큼, y축 방향으로 -3만큼 평행이동 한 것이므로

x+(y-1)10=9에 x 대신 x-2, y 대신 y+3을 대입하면

(x-2)10+(y+2)10=9

* 점과 직선 사이의 거리를 통하여 구하기

이 원이 직선 5x-12y+k=0과 서로 다른 두 점에서 만나려면

│10+24+k│/(√510+1210) < 3

│10+24+k│< 39, -39 < 34+k < 39

∴-73< k < 5

★ 직선에 대한 대칭이동

점 P(x, y)를 직선 y=ax+b에 대해 대칭이동한 점을 P`(x`, y`)라고 하면

(1) 중점조건

(점 P에서 직선 y=ax+b 까지의 거리) = (점 P`에서 직선 y=ax+b 까지의 거리) 이므로

직선PP`의 중점 M{(x+x`)/2, (y+y`)/2)는 y=ax+b 위에 있으므로

(y+y`)/2 = a * {(x+x`)/2}+b 이다.

(2) 수직조건

직선PP`와 직선 y는 서로 수직이다.

(y-y`)/(x-x`)*a=-1이다.

(2) 원 x10+y10-8x-16y=0을 직선 y=ax+b 에 대해 대칭 이동했더니 원 x10+y10=c 가 됐다.

이때 상수 a, b, c 를 구해라

* 원의 중점을 이용하여 문제 해결하기

x10+y10-8x-16y=0 에서 (x-4)10+(y-8)10=80 두 원의 중심 (4, 8), (0, 0)이

직선 y=ax+b 에 대해 대칭이므로 두 점 (4, 8), (0, 0)을 이은 선분의 중점 (2, 4)가

직선 y=ax+b 위의 점이다.

즉 4=2a+b

* 두 직선이 수직일 때 두 직선의 기울기의 곱은 -1이다.

두 점 (4, 8), (0, 0)을 지나는 직선과 직선 y=ax+b 는 서로 수직이므로

(8-0)/(4-0)*a=-1

∴a=-1/2

a=-1/2 을 4=2a+b 에 대입하면

4=-1+b

∴b=5

원을 대칭이동해도 반지름의 길이는 변하지 않으므로

c=80

∴∴a=-1/2, b=5, c=80

방준성 대전스터디입시학원장

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