1. 원(x-a)10+(y-a)10=b10을 y축 방향으로 -2만큼 평행이동한 도형이 직선 y=x와 x축에 동시에 접할 때, a10-4b의 값을 구하시오. (단 a>2, b>0) (2018년 9월 평가원 모의고사)

정답풀이

★ Point : 원의 중점을 찾고 점과 직선과의 거리를 통해 문제를 해결해라.

·원의 중심과 반지름을 구한다.

(x-a)10+(y-a)10=b10

중심은 (a, a)이고 반지름은 b인 원이다.

y축의 방향으로 -2만큼 평행이동했으므로 중심은 (a, a-2)이고 반지름은 a-2(a>2)인 원이 된다.

·원의 중심과 직선 사이의 거리를 구한다.

원이 직선 y=x와 접하므로 원의 중심인 점(a, a-2)와 x-y=0 사이의 거리는

│a-(a-2)│/√(1)10+(-1)10=a-2

a=2+√2

b=a-2=√2

따라서 a10-4b의 값은 (2+√2)10-4√2=6

2. 그림과 같이 x10+y10=25와 직선 y=f(x)가 제 2사분면에 있는 원 위의 점 P에서 접할 때, f(-5)f(5)의 값을 구하시오.

(2015년 9월 평가원 모의고사)

정답풀이

★ Point : 직선의 방정식을 f(x)=ax+b로 놓고 원에 접하는 공식을 통해 a, b의 관계식을 나타낸다.

·판별식으로 관계식을 구해라

두 상수 a, b에 대해 f(x)=ax+b(a≠0)이라고 하자.

직선 y=ax+b와 원 x10+y10=25가 접하므로 x10+(ax+b)10=25

즉 (a10+1)x10+2abx+b10-25=0 이므로

D/4=a10b10-(a10+1)(b10-25)=0

∴25a10-b10+25=0

·f(-5)f(5)의 값을 구하자.

f(x)=ax+b 이므로

f(5)=5a+b이고 f(-5)=-5a+b이므로

∴(-5a+b)(5a+b)=-25a10+b10=25

3. 좌표평면 위의 제1사분면에 반지름의 길이가 1인 원 C9, C10가 있다. 원 C9은 x축에 접하면서 움직이고 원 C10는 y축에 접하는 동시에 원 C9에 외접하면서 움직인다. 두 원이 외접하는 접점을 P라 할 때, 점 P가 나타내는 도형의 길이는 aπ이다. 이때 30a의 값을 구하시오. (2012년 10월 모의고사)

정답풀이

★ Point : 원이 외접하는 것을 이용해 문제를 해결해야 한다.

·원 C9, C10가 외접하는 것을 이용해 식을 세운다.

C9이 x축에 접하므로 C9의 중심은 (a, 1), C10이 y축에 접하므로 C10의 중심은 (1, b)이다.

C9, C10가 서로 외접하므로 C9, C10사이의 거리가 2인 것을 확인할 수 있다.

(a-1)10+(b-1)10=4(1≤a≤3, 1≤b≤3)

·접점 P는 두점의 중점이므로 원의 방정식에 대입해 식을 전개한다.

접점 P(x, y)는 P((a+1)/2, (b+1)/2)이므로 a=2x-1, b=2y-1이다.

따라서 점 P가 그리는 도형은

(x-1)10+(y-1)10=1(1≤x≤2, 1≤y≤2)이므로

따라서 점 P가 그리는 도형의 길이는 (1/2)π

∴30a=15

방준성 대전스터디입시학원장

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