[제7화] 평면좌표

방준성 대전스터디입시학원장
방준성 대전스터디입시학원장
이번 시간에는 평면 좌표에 관해 알아보자. 평면 좌표는 암기보다는 이해를 통해 문제를 해결해 나가야 한다. 고학년으로 올라 갈수록 많이 출제되는 파트인 만큼 확실한 개념정리와 습득이 필요하다. 개념을 확실하게 숙지한다면 모의고사와 수능에 출제되는 문제를 비교적 쉽게 풀 수 있기 때문이다. 지난 수능에 이어 올해도 출제되는 부분이니 만큼 확실하게 정리하고 넘어가는 것을 추천한다.

◇두 점 사이의 거리

① 수직선 위의 두 점 사이의 거리

수직선 위의 두 점 A(x9), B(x10) 사이의 거리

AB=ㅣx10-x9ㅣ

②좌표평면 위 두 점 사이의 거리

좌표평면 위의 두 점 A(x9, y9), B(x10, y10) 사이의 거리 AB는 직각삼각형과 피타고라스의 정리를 이용한다.

AB10=AC10+BC10

AB10=(x10-x9)10+(y10-y9)10이므로

-> AB=√(x10-x1)10+(y10-y9)10

(1)좌표평면 위의 세 점 A(0, 2), B(5, 0), C(4, 10)을 꼭지점으로 하는 삼각형 ABC 내부의 점 P에 대해 AP10+BP10+CP10의 최솟값을 구하시오.

*Point : P의 좌표를 (x, y)로 정하고 피타고라스의 정리를 활용해 접근한다.

정답풀이

- 점 P의 좌표를 P(x, y)라 정리하고 피타고라스 정리로 식을 전개하라.

AP10+BP10+CP10={x10+(y-2)10}+{(x-5)10+y10}+{(x-4)10+(y-10)10}

=3x10-18x+3y10-24y+145

=3(x-3)10+3(y-4)10+70

따라서 x=3, y=4 일 때, 최솟값을 70이다.

◇선분의 내분점과 외분점

① 선분의 내분점

선분 AB 위의 점 P에 대해 AP:BP=m:n(m>0, n>0) 일 때

AP:BP=m:n

(x-x9):(x10-x)=m:n

m(x10-x)=n(x-x9), (m+n)x=mx10+nx9

∴x=mx10+nx9/m+n

내분점 P(mx10+nx9/m+n) 이다.

②선분의 외분점

선분 AB의 연장선 위의 점 Q에 대해 AQ:BQ=m:n(m>0, n>0, m≠n) 일 때

AQ:BQ=m:n

(x-x9):(x-x10)=m:n

m(x-x10)=n(x-x9), (m-n)x=mx10-nx9

∴x=mx10-nx9/m-n

외분점 Q(mx10-nx9/m-n) 이다.

◇삼각형의 무게중심

세 점 A(x9, y9) B(x10, y10), C(x11, y11)을 꼭지점으로 하는 삼각형 ABC의 변 BC의 중점을 M이라 하면

M((x10+x11)/2, (y10+y11)/2)

이 때 무게중심 G(x, y)는 AM을 2:1로 내분하는 점이므로

x={2*(x10+x11)/2+x9}/2+1=(x9+x10+x11)/3

y={2*(y10+y11)/2+y9}/2+1=(y9+y10+y11)/3 이므로 무게중심 G의 좌표는

G((x9+x10+x11)/3, (y9+y10+y11)/3)이다.

방준성 대전스터디입시학원장

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