[제7화] 평면좌표
◇두 점 사이의 거리
① 수직선 위의 두 점 사이의 거리
수직선 위의 두 점 A(x9), B(x10) 사이의 거리
AB=ㅣx10-x9ㅣ
②좌표평면 위 두 점 사이의 거리
좌표평면 위의 두 점 A(x9, y9), B(x10, y10) 사이의 거리 AB는 직각삼각형과 피타고라스의 정리를 이용한다.
AB10=AC10+BC10
AB10=(x10-x9)10+(y10-y9)10이므로
-> AB=√(x10-x1)10+(y10-y9)10
(1)좌표평면 위의 세 점 A(0, 2), B(5, 0), C(4, 10)을 꼭지점으로 하는 삼각형 ABC 내부의 점 P에 대해 AP10+BP10+CP10의 최솟값을 구하시오.
*Point : P의 좌표를 (x, y)로 정하고 피타고라스의 정리를 활용해 접근한다.
정답풀이
- 점 P의 좌표를 P(x, y)라 정리하고 피타고라스 정리로 식을 전개하라.
AP10+BP10+CP10={x10+(y-2)10}+{(x-5)10+y10}+{(x-4)10+(y-10)10}
=3x10-18x+3y10-24y+145
=3(x-3)10+3(y-4)10+70
따라서 x=3, y=4 일 때, 최솟값을 70이다.
◇선분의 내분점과 외분점
① 선분의 내분점
선분 AB 위의 점 P에 대해 AP:BP=m:n(m>0, n>0) 일 때
AP:BP=m:n
(x-x9):(x10-x)=m:n
m(x10-x)=n(x-x9), (m+n)x=mx10+nx9
∴x=mx10+nx9/m+n
내분점 P(mx10+nx9/m+n) 이다.
②선분의 외분점
선분 AB의 연장선 위의 점 Q에 대해 AQ:BQ=m:n(m>0, n>0, m≠n) 일 때
AQ:BQ=m:n
(x-x9):(x-x10)=m:n
m(x-x10)=n(x-x9), (m-n)x=mx10-nx9
∴x=mx10-nx9/m-n
외분점 Q(mx10-nx9/m-n) 이다.
◇삼각형의 무게중심
세 점 A(x9, y9) B(x10, y10), C(x11, y11)을 꼭지점으로 하는 삼각형 ABC의 변 BC의 중점을 M이라 하면
M((x10+x11)/2, (y10+y11)/2)
이 때 무게중심 G(x, y)는 AM을 2:1로 내분하는 점이므로
x={2*(x10+x11)/2+x9}/2+1=(x9+x10+x11)/3
y={2*(y10+y11)/2+y9}/2+1=(y9+y10+y11)/3 이므로 무게중심 G의 좌표는
G((x9+x10+x11)/3, (y9+y10+y11)/3)이다.
방준성 대전스터디입시학원장
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