[제6화] 익숙하지만 어려운 부등식

지난 시간에는 방정식에 관하여 알아봤고 이번 시간에는 부등식에 관하여 알아보기로 하자. 중학교 2학년 1학기 때 배웠던 부등식은 일차 부등식이라면 고등학교에서 배우는 부등식은 이차부등식이다. 이차 부등식 많이 어렵다면 일차 부등식부터 이해하고 접근하는 것이 좋다. 부등식은 중학교 때 많이 접하여 쉽게 보일지 몰라도 앞선 단원의 개념이 잡혀있지 않은 학생에겐 다소 어려운 단원이기 때문에 개념을 확실하게 이해하고 다양한 문제를 풀어 볼 것을 추천한다.

★ 부등식

부등호 >, <, ≥, ≤ 를 사용해 수 또는 식의 값의 대소 관계를 나타낸 식

★ 일차부등식

주어진 부등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리했을 때

ax+b>0, ax+b<0, ax+b≥0, ax+b≤0(a≠0, a,b 는 상수)과 같이 좌변이 에 대한 일차식이 되는 부등식을 x에 대한 일차부등식이라고 한다.

★ 절댓값 기호를 포함한 일차부등식

1) lxl < a, -a 2) lxl>a, x<-a 또는 x>a

3) a 4) lx-Al+lx-Bl

문제 1) 부등식 lx-1l+lx+2l<5를 푸시오

정답풀이

① x<-2 일 때, -(x-1)-(x+2)<5

x>-3이므로 -3

② -2≤x<1 일 때, -(x-1)+(x+2)<5

3<5 이므로 항상 성립 -2≤x<1

③ x≥1 일 때, (x-1)+(x+2)<5

x<2이므로 1≤x<2

①②③의 합집합은 ∴-3

★ 이차부등식

모든 항을 좌변으로 이항했을 때 좌변의 최고차항이 이차인 부등식을 이차부등식이라고 한다.

ax10+bx+c>0, ax10+bx+c<0, ax10+bx+c≥0, ax10+bx+c≤0(a≠0, a, b, c는 상수)

★ 이차함수의 그래프와 이차 부등식

이차방정식 ax10+bx+c=0(a>0)이 실근을 가지는 경우 그 근을 α, β(α≤β) 라고 하면 판별식 D의 부호에 따라 이차함수의 그래프와 이차부등식의 해 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

★ 연립이차부등식

부등식을 여러 개로 묶어놓은 걸 연립부등식이라고 하는데, 이 중 차수가 가장 높은 부등식이 이차식일 때, 이 연립부등식을 연립 이차 부등식이라 한다.

연립이차부등식을 풀 때는 부등식을 풀어서 구한 해의 공통부분을 구해야 한다.

문제2) 연립부등식 x10≤2x+8, x10+3x≥10의 해가 이차부등식 ax10+bx+1≤0의 해와 같을 때, 실수 a, b에 대하여 a+b의 값을 구하여라.

정답풀이

① x10≤2x+8을 풀면 -2≤x≤4

② x10+3x≥10을 풀면 x≤-5 또는 x≥2 ∴2≤x≤4

③ ax10+bx+1≤0의 해가 2≤x≤4이므로

a>0이고 a(x-2)(x-4)=ax10-6ax+ba≤0

따라서 b=-6a, 8a=1이므로 a=1/8, b=-6/8 이므로 a+b=-5/8

문제3) 이차부등식 f(x)<0의 해가 -1

정답풀이

① f(x)=a(x+1)(x-5)(a>0)이라고 하면

f(-x+105)=a(-x+106)(-x+160)<0

② f(-x+105)<0에서 a(-x+106)(-x+160)<0

∴(x-106)(x-100)<0

100

따라서 해 중 가장 큰 자연수는 105이다.

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