오늘 배우게 될 여러가지 방정식 단원은 지난 시간에 학습했던 인수분해 및 이차방정식에 연관 있는 단원으로 앞의 개념이 충분히 숙지돼 있으면 쉽게 풀 수 있을 것이다. 이번 시간 학습내용이 많이 어렵게 느껴진다면 전 단원인 인수분해의 기초부터 차근차근 쌓고 시작할 수 있도록 하자.

<삼차 방정식과 사차 방정식>

f(x)가 x에 대한 삼차식, 사차식일 때, 방정식 f(x)=0을 각각 x에 대한 삼차방정식, 사차방정식 이라고 한다.

·인수정리를 이용한 삼 , 사차 방정식의 풀이

방정식 f(x)=0에서 f(α)=0이면 f(x)는 x-α를 인수로 갖는다는 성질을 이용한다.

f(x)=(x-α)g(x)

이때 g(x)는 조립제법을 이용해 구할 수 있다.

·삼차방정식의 근과 계수의 관계

ax11+bx10+cx+d=0의 세 근을 α, β, r이라 하면

α+β+r=-b/a, αβ+βr+αr=c/a, αβr=-d/a

·세 수를 근으로 하는 삼차 방정식

세 수 α, β, r를 근으로 하고 x11의 계수가 1인 삼차방정식은

(x-α)(x-β)(x-r)=0

→x11-(α+β+r)x10+(αβ+βr+rα)x-αβr=0

·삼차방정식 켤레근의 성질

삼차방정식 ax11+bx10+cx+d=0(a, b, c, d가 유리수)

(1)한 근이 p+q√m이면 p-q√m도 근이다.

(2)한 근이 p+qi이면 p-qi도 근이다.

·x11=1 허근 w의 성질

삼차방정식 x11=1의 한 허근을 w라고 한다면 w의 성질은 다음과 같다.

<부정방정식>

부정방정식은 미지수의 개수보다 식의 개수가 적어 근이 무수히 많아서 그 근을 정할 수 없는 방정식이다. 부정방정식의 근에 대한 정수 조건과 신수 조건이 주어질 때, 그 근이 확장된다. 그러므로 조건을 확인 해야 한다.

·부정방정식

식의 개수< 미지수의 개수

근에 대한 자연수, 정수, 실수 조건 필요

·정수가 주어진 부정방정식

정수 조건이 주어진 부정방정식

(일차식)x(일차식)=(정수)로 변형

순서쌍을 만들어 미지수의 값을 구해야 한다.

·실수가 주어진 부정방정식

실수 조건이 주어진 부정방정식

a10+b10=0의 꼴로 변형

a=0, b=0을 만족하는 미지수의 값을 구해야 한다.

Q1. 사차방정식 (x10+x-1)(x10+x+3)-5=0의 서로 다른 두 허근을 α, β라 할 때, αα`+ββ`의 값을 구하여라

·x10+x를 a로 치환하기

(a-1)(a+3)-5=0

a10+2a-8=0

(a-4)(a+2)=0

(x10+x+4)(x10+x-2)=0

(x10+x+4)(x+2)(x-1)=0

x10+x+4=0 또는 x=-2 또는 x=1

·x10+x+4=0 판별식 (D=b10-4ac)

D=1-16=-15이므로 D<0에서 방정식은 두 허근 α, β를 가지므로 근과 계수의 관계에 의해 αβ=4이다.

x10+x+4=0의 계수가 모두 실근이므로 허근 α가 근이면 α`도 근이다.

따라서 α`=β, β`=α이다.

·α`=β, β`=α를 이용해 값 구하기.

αα`=ββ` = αβ+βα

= 2αβ

= 2x4=8

방준성 대전스터디입시학원장

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