올해 고등학교 입학생들은 중3 교육과정에 이어 고등학교 과정에서도 이차방정식을 배우게 된다. 중학교 과정에서는 이차방정식 근이 실수 범위였지만 고등학교에서는 복소수 영역까지 확장된다. 이차방정식은 앞으로 배우게 될 이차함수와도 연관이 있기 때문에 그 개념을 확실하게 정리해야 한다.

◇인수분해를 이용해 근 구하기

x에 대한 이차방정식을 (ax-b)(cx-d)=0의 꼴로 변형하면

ax-b=0 또는 cx-d=0이 되므로 x=b/a 또는 x=d/c가 된다.

◇근의 공식을 이용해 근 구하기

ax10+bx+c=0의 근은 x=(-b±√b10-4ac)/2a가 된다.

ax10+2b`x+c=0의 근은 x=(-b`±√b`10-4ac)/a가 된다.

◇이차방정식의 판별식

계수가 실수인 이차방정식 ax10+bx+c=0의 판별식을 D=b10-4ac 라고 하면

(1)D>0 ⇒ 서로 다른 두 실근을 갖는다.

(2)D=0 ⇒ 중근(서로 같은 두 실근)을 갖는다.

(3)D<0 ⇒ 서로 다른 두 허근을 갖는다.

◇이차방정식의 근과 계수의 관계

이차방정식 ax10+bx+c=0의 두 근을 α, β라 하면

(1) 두 근의 합 α+β=-b/a

(2) 두 근의 곱 αβ=c/a가 된다.

◇이차방정식의 두 수를 근으로 하는 이차방정식

두 수 α, β를 근으로 하고 x10의 계수가 1인 이차방정식은

(x-α)(x-β)=0 ⇒ x10-(α+β)x+αβ=0

(1)ax10+2(a+1)x+a-1=0의 두 근 중 적어도 하나가 정수가 되도록 하는 모든 자연수 a 값의 곱을 구하시오.

정답풀이

먼저 a에 관해 정리한다.

a(x10+2x+1)+2x-1=0

a(x+1)10=-2x+1, x≠-1 이므로

a=(-2x+1)/(x+1)10…㉠

a는 자연수이므로 a≥1이다.

(x+1)10≤-2x+1

x10+4x≤0 ∴ -4≤x≤0

즉 -1이 아닌 정수 x 값은 -4, -3, -2, 0 이므로

x=-4 일 때, ㉠에서 (-2·(-4)+1)/(-4+1)10=1 이므로 a=1

x=-3 일 때, ㉠에서 (-2·(-3)+1)/(-3+1)10=7/4 이므로 a는 자연수가 아니다.

x=-2 일 때, ㉠에서 (-2·(-2)+1)/(-2+1)10=5/1 이므로 a=5

x=0 일 때, ㉠에서 (-2·(0)+1)/(0+1)10=1 이므로 a=1

따라서 구하는 자연수 a의 값은 1 또는 5 이므로 모든 자연수의 곱은 5다.

(2)이차방정식 x10+(m+4)x-32=0 의 두 근의 절대값의 비가 2:1이 되도록 하는 실수 m의 값을 모두 구하시오.

정답풀이

두 근을 α, -2α라 한다.

α+(-2α)=-(m+4)… ㉠, α·(-2α)=-32…㉡

㉡에서 α10=16 ∴α=±4

㉠에서 m=α-4 ∴m=0 또는 m=-8

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