고등학교 수 체계는 복소수의 영역까지 넓어지는데 복소수는 대수적인 의미에서 가장 범위가 큰 수체계다.

복소수란 제곱해서 -1이 되는 수, 즉 √-1 을 i라고 표기하며 허수단위라고 한다. 임의의 실수 a, b에 대해 a+bi 꼴을 복소수라고 한다.

고등학교 과정에서 어려워하는 학생들이 많지만 몇 가지 기본 개념 부분만 숙지한다면 비교적 쉽게 문제를 풀 수 있다.

★ 복소수의 종류

복소수 a+bi {실수 a(b=0)

{허수 a+bi(b≠0) {순허수 bi(a=0, b≠0)

{순허수가 아닌 허수 a+bi(a≠0, b≠0)

★ 복소수의 사칙계산

a, b, c, d가 실수일 때,

1)(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

(예제) (3+7i)+(4+3i)=7+10i

2)(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

(예제)(3+7i)-(4+3i)=-1+4i

3)(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

(예제) (6+7i)(3+4i)=-10+45i

4)(a+bi)/(c+di)=(a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di)={(ac+bd)/(c10+d10)}+{(bc-ad)i/(c10+d10)}(단, c+di≠0)

(예제) (2+3i)/(5-2i)=(2+3i)(5+2i)/(5-2i)(5+2i)=(4/29)+(19i/29)

★ 켤레복소수

복소수 z=a+bi(a,b는 실수)에 대해 허수부분의 부호를 바꾼 를 의 켤레복소수라고 한다.

1. 두 실수 z10+zi+1=0 이고 (1/z10)(1+z+z10+z11+z12)=a+bi 일 때, a11+b11의 값을 구해라

1) z에 관한 내림차순으로 정리한다.

a+bi=(1/z10)+(1/z)+1+z+z10

=a+bi={(1/z10)+z10}+{(1/z)+z}+1

2)z10+zi+1=0을 z관해 나눈다.

z+i+(1/z)=0

=z+(1/z)=-i

={z+(1/z)}10=z10+2+(1/z10) 이므로 z10+(1/z10)=-3

3)a+bi={(1/z10)+z10}+{(1/z)+z}+1에 대입한다.

a+bi=-3-i+1이므로 a+bi=-2-i

a=-2, b=-1 이므로

∴a11+b11=(-2)11+(-1)11=-9

2.a, b, c가 a10+b10+c10=-1, a+b+c=√3i 일 때, a+b 값을 구해라.

먼저, (a+b+c)10=a10+b10+c10+2(ab+bc+ca)를 이용해 ab+bc+ca 값을 구한다.

-1+2(ab+bc+ca)=(√3 i)10 이므로 2(ab+bc+ca)=-2

∴ab+bc+ca=-1

a10+b10+c10=-1 // ab+bc+ca=-1

a10+b10+c10-(ab+bc+ca)=0

(1/2){(a-b)10+(b-c)10+(c-a)10}=0이므로

a=b=c=(√3 i)/3

∴a+b=2(√3 i)/3

<저작권자ⓒ대전일보사. 무단전재-재배포 금지>