고등학교 1학년 수학의 중요성
`다항식`은 다항식의 연산, 항등식과 나머지 정리, 인수분해라는 세 개의 소단원으로 나뉜다. 문자와 식의 계산을 통해 학생들이 다항식을 충분히 이해하고 있는 지와 그 이후에 배우는 방정식과 부등식을 위한 사전 준비가 돼있는 지를 이 단원에서 파악해야 한다.
`x² - 3x - 4를 인수분해해라` `(x-4)(x+1)` 이라고 쉽게 대답한다.
그 이후에 방정식에서 `x² - 3x - 4 = 0 의 해를 구하라` 라는 문제가 등장한다.
`(x-4)(x+1) = 0 ∴ x=4 또는 x=-1` 이라고 쉽게 대답할 수 있을 것이다.
수동적으로 수학문제 풀기에만 급급한 학생들은 저기에서 그 무언가를 발견하지 못한다. 하지만 조금이라도 의식을 가지고 보면 그 누구라도 저 두 문제의 공통점이 눈에 들어올 것이다. 그렇다면 저게 왜 비슷한 지 의문을 품어야 하고 그렇게 된다면 점점 문제 출제자의 의도를 파악할 수 있는 능력도 키워지리라 본다.
인수분해는 2차 이상 방정식을 풀기 위한 사전 학습이다. 두 개 이상의 인수의 곱이 0이 되려면 각 인수 중 적어도 하나의 인수가 0이 된다는 기본적인 생각을 가지고 임해야 하는 것이다. 그러므로 `다항식`에서 문제풀이에 급급할 것이 아니라 다음으로 연결된다는 생각을 가지고 임하는 것이 중요하다.
`방정식과 부등식`에서는 본격적인 문제들이 등장한다. 앞 단원에서 배웠던 다항식 연산들을 통해 해를 구하게 된다.
그 중에서 이차방정식과 이차함수의 관계라는 소단원에서는 이차방정식에서 등장하는 "해 또는 근"이라는 것과 이차함수에서 등장하는 "두 그래프의 교점"이라는 것의 연결고리를 이해하도록 단원이 구성돼 있다.
f(x) = 3x²-2x+3 과 g(x) = 2x²+x+7 두 그래프의 교점은 무엇인가? 라는 이차함수 문제와 3x²-2x+3 = 2x²+x+7 이 이차방정식의 두 근을 구하시오? 라는 이차방정식의 문제가 서로 다른 단원의 다른 문제로 출제되지만 이 문제는 거의 같은 문제다.
처음 문제는 답이 두 개의 좌표로 나올 것이고, 두 번째 문제는 x좌표만 두 개 쓰는 것이 답이 된다. 어떻든 수학 상 이 단원에서는 이차방정식의 근과 이차함수의 교점이 같은 테두리 안에서 일어나는 같은 집안 문제라는 것을 인식하고 넘어가야 한다. 이 단원을 밑바탕으로 미적분 또는 로그함수, 지수함수 이런 부분에서 두 함수의 교점을 물어보는 문제는 수도 없이 등장한다. 그 곳에서 헤매지 않으려면 이 단원을 확실히 이해하고 넘어가야 할 것이다.
마지막 단원인 `도형의 방정식`에는 점, 직선, 원, 평행이동, 대칭이동이라는 소단원이 있다. 이 부분은 도형을 아무 곳이나 그려놓고 도형의 길이나 넓이 등을 구하라는 것이 아니고, x표와 y좌표를 일정하게 그려놓고 수식으로 체계화해 풀어야 하는 단원이다. 당연히 x, y 축이 있는 좌표평면에 도형을 그리는 연습을 많이 해야 한다. 하지만 이 곳에서도 좌표평면에 그린 도형을 수식으로 풀기에만 급급한 채 넘어간다면 충분히 이해하지 못한 채 넘어가는 것이다. 도형을 좌표평면이 아닌 도형으로서 생각을 해야 이 단원의 큰 그림을 얻어낼 수 있을 것이다.
이차함수 y=x²-ax+a 그래프에 대해 보기에서 옳은 것만을 고른 것은?(단, a는 실수이다)
(2016년 3월 고1 모의고사)
보기
ㄱ. 점(1, 1)을 지난다.
ㄴ. x축 방향으로 -a/2만큼 평행이동한 그래프는 y축에 대칭이다.
ㄷ. 꼭짓점이 x축 위에 있도록 하는 a의 개수는 1 이다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ ㄴ ④ ㄴ ㄷ ⑤ ㄱ ㄴ ㄷ
해설
ㄱ. 점 (1, 1)을 대입하면 좌우변이 모두 1로 같으므로 성립한다. [참]
ㄴ. y=x²-ax+a=(x-(a/2)²-(a²/4)+a이므로 꼭짓점이 (a/2, -(a²/4)+a)이고 대칭축이 x=a/2이다. 따라서 x축 방향으로 -a/2만큼 평행이동하면 대칭축이 y축으로 이동하므로 y축에 대칭이다. [참]
ㄷ. 꼭짓점이 x축 위에 있기 위해선 꼭짓점의 y좌표가 0이 돼야 하므로, ㄴ에서 -(a²/4)+a=0 이 돼야 한다. 그러므로 a=0 또는 a=4, 2개다. [거짓]
그동안 고1 수학에 대한 개략적인 내용을 연재하면서 조금이나마 학생들에게 도움이 됐기를 기원하며 모든 학생들에게 행운이 있기를 기원한다.
김우환 스파르타영어수학학원장
<저작권자ⓒ대전일보사. 무단전재-재배포 금지>