1. 이차부등식
(1) 이차부등식에서 부등호 방향에 따른 x범위의 고찰
① (x+5)(x-2) > 0 (x+5) 와 (x-2) 라는 두 일차식을 곱해 양수가 돼야 하므로
(ⅰ) x+5 > 0 이고 x-2 > 0 => x > -5 이고 x > 2 => x > 2
(ⅱ) x+5 < 0 이고 x-2 < 0 => x < -5 이고 x < 2 => x < -5
∴ (ⅰ)과(ⅱ)에 의해 정답은 x < -5 또는 x > 2
② (x+5)(x-2) < 0 (x+5) 와 (x-2) 라는 두 일차식을 곱해 음수가 돼야 하므로
(ⅰ) x+5 < 0 이고 x-2 > 0 => x < -5 이고 x > 2 => 공통으로 만족하는 x값이 없다.
(ⅱ) x+5 > 0 이고 x-2 < 0 => x > -5 이고 x < 2 => -5 < x < 2
∴ (ⅰ)과(ⅱ)에 의해 정답은 -5 < x < 2
결론 :(x+5)(x-2) > 0 두 일차식의 곱이 0보다 클 경우 x의 범위는 작은 값 -5보다 작고, 큰 값 2보다 크다
(x+5)(x-2) < 0 두 일차식의 곱이 0보다 작을 경우 x의 범위는 작은 값 -5보다 크고, 큰 값 2보다 작다
부등호 방향에 따른 위의 이차부등식 x의 범위 상황을 반드시 암기해야 한다.
(※ 이차부등식 x의 범위를 유추하는 방법에는 위 방법 외에 이차함수를 이용한 방법이 있다.
그 방법도 매우 중요하므로 반드시 함께 알고 있어야 한다.)
(2) 특수한 이차부등식
① (x-2)² > 0 : 이 경우에는 좌변에 있는 완전제곱식이 제곱이기 때문에 양수와 0만 나오고, 음수는
나올 수 없다.
즉, x≠2 한 모든 실수에서 다음을 만족시킨다. (답 : x≠2 한 모든 실수)
② (x-2)² ≥ 0 : 이 경우에도 좌변에 있는 완전제곱식이 제곱이기 때문에 양수와 0만 나오고, 음수는
나올 수 없다.
즉, x는 모든실수가 된다. (답 : x는 모든실수)
③ (x-2)² < 0 : 이 경우에도 좌변에 있는 완전제곱식이 제곱이기 때문에 양수와 0만 나오고, 음수는
나올 수 없다. 즉, 부등식을 만족할 만한 x값이 없다.
즉, x는 값을 갖지 않는다. (답 : x는 해가 없다.)
④ (x-2)² ≤ 0 : 이 경우에도 좌변에 있는 완전제곱식이 제곱이기 때문에 양수와 0만 나오고, 음수는
나올 수 없다.
즉, x는 2라는 값이 들어갈 때 식이 성립된다. (답 : x = 2)
예제1) 이차부등식 -3x²-5x+2≥0을 만족하는 모든 정수 의 합은?
풀이) 양변에 -1을 곱하면 3x²+5x-2≤0
좌변을 인수분해해 (3x-1)(x+2)≤0
이제 위에서 배운대로 0보다 작거나 같기 때문에 -2≤x≤1/3
예제2) 이차부등식 ax² + 12x + b ≥ 0 의 해를 구하면 x=2 가 나올 때 a+b의 값을 구하시오.
풀이) 이차부등식에서 x=3 라는 해만 나올 경우는 특수한 이차부등식 ④에서 설명했듯
(x-3)² ≤ 0 인 경우에 x=3이라는 해가 나온다.
이 식을 전개하면 x² - 6x + 9 ≤ 0 이다. 위 문제에서 일차항의 계수가 12이므로
지금 식의 양변에 -2를 곱하면 -2x² + 12x - 18 ≥ 0 이 된다.
∴ a = -2, b = -18
2. 절대부등식
전체집합에 속하는 모든 원소를 해당 부등식에 대입했을 때, 항상 부등식이 성립한다면 그 부등식을 절대부등식이라고
한다. (※ 항상 등식을 만족하는 식을 항등식이라고 하는 것과 비슷한 개념으로 부등식에서 절대부등식이라고 한다)
위에 특수한 이차부등식 ②에서 (x-2)² ≥ 0 은 x가 모든 실수가 나오므로 절대부등식이라고 할 수 있다.
예1) x² - 4x + 5 > 0 의 해를 구해보자.
좌변을 완전제곱식 형태로 고쳐보면 (x - 2)² +1 > 0 이 된다.
(x-2)² ≥ 0 이고 그 식의 양변에 1을 더한 형태이므로 (x-2)² + 1 ≥ 1 > 0 이 된다.
모든 실수를 x에 대입하더라도 항상 0보다 크게 되므로 위 부등식은 절대부등식이 된다.
예2) a > 0, b > 0 일 때
a+b/2 ≥ √ab (단, 등호는 a=b 일 때 성립)
우리가 흔히 산술-기하 평균이라 일컫는 위 식도 대표적인 절대부등식이다. 다만, 전체집합이 양수만을 원소로 갖기
때문에 위 식의 a와 b에 어떤 양수를 대입해도 위 식은 성립하게 된다.
예제) a > 0 , b > 0 이고, a²+b²=12 일 때, ab의 최댓값을 구하시오.
풀이) 절대부등식 산술-기하평균을 이용해
a²+b²/2 ≥ √a²b² => 6 ≥ ab
∴ ab의 최댓값은 6
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