부등식에 대한 내용은 수학(상)의 "여러 가지 부등식" 단원에서 주된 내용이 나오고, 수학(하)의 명제 단원 "절대부등식"파트에서 다시 한 번 나온다. 방정식과 같이 부등식 또한 함수와 연계해 내용을 알고 있어야 하며 수(상)의 부등식과 수(하)의 절대부등식을 구분한 뒤 유형별로 학습해야 한다. 중 3학년 과정에 수록돼 있는 이차방정식과 이차함수와 달리 부등식은 중학교 2학년 때 배운 이후로 2년만에 고등학교 과정에서 등장하게 되므로 여러 학생들이 어려움을 많이 겪게 된다. 개념부터 차근차근 되짚어 부등식과 함수의 연계성, 절대부등식의 개념 등을 확실히 다지고 넘어가길 추천한다.

1. 이차부등식

(1) 이차부등식에서 부등호 방향에 따른 x범위의 고찰

① (x+5)(x-2) > 0 (x+5) 와 (x-2) 라는 두 일차식을 곱해 양수가 돼야 하므로

(ⅰ) x+5 > 0 이고 x-2 > 0 => x > -5 이고 x > 2 => x > 2

(ⅱ) x+5 < 0 이고 x-2 < 0 => x < -5 이고 x < 2 => x < -5

∴ (ⅰ)과(ⅱ)에 의해 정답은 x < -5 또는 x > 2

② (x+5)(x-2) < 0 (x+5) 와 (x-2) 라는 두 일차식을 곱해 음수가 돼야 하므로

(ⅰ) x+5 < 0 이고 x-2 > 0 => x < -5 이고 x > 2 => 공통으로 만족하는 x값이 없다.

(ⅱ) x+5 > 0 이고 x-2 < 0 => x > -5 이고 x < 2 => -5 < x < 2

∴ (ⅰ)과(ⅱ)에 의해 정답은 -5 < x < 2

결론 :(x+5)(x-2) > 0 두 일차식의 곱이 0보다 클 경우 x의 범위는 작은 값 -5보다 작고, 큰 값 2보다 크다

(x+5)(x-2) < 0 두 일차식의 곱이 0보다 작을 경우 x의 범위는 작은 값 -5보다 크고, 큰 값 2보다 작다

부등호 방향에 따른 위의 이차부등식 x의 범위 상황을 반드시 암기해야 한다.

(※ 이차부등식 x의 범위를 유추하는 방법에는 위 방법 외에 이차함수를 이용한 방법이 있다.

그 방법도 매우 중요하므로 반드시 함께 알고 있어야 한다.)

(2) 특수한 이차부등식

① (x-2)² > 0 : 이 경우에는 좌변에 있는 완전제곱식이 제곱이기 때문에 양수와 0만 나오고, 음수는

나올 수 없다.

즉, x≠2 한 모든 실수에서 다음을 만족시킨다. (답 : x≠2 한 모든 실수)

② (x-2)² ≥ 0 : 이 경우에도 좌변에 있는 완전제곱식이 제곱이기 때문에 양수와 0만 나오고, 음수는

나올 수 없다.

즉, x는 모든실수가 된다. (답 : x는 모든실수)

③ (x-2)² < 0 : 이 경우에도 좌변에 있는 완전제곱식이 제곱이기 때문에 양수와 0만 나오고, 음수는

나올 수 없다. 즉, 부등식을 만족할 만한 x값이 없다.

즉, x는 값을 갖지 않는다. (답 : x는 해가 없다.)

④ (x-2)² ≤ 0 : 이 경우에도 좌변에 있는 완전제곱식이 제곱이기 때문에 양수와 0만 나오고, 음수는

나올 수 없다.

즉, x는 2라는 값이 들어갈 때 식이 성립된다. (답 : x = 2)

예제1) 이차부등식 -3x²-5x+2≥0을 만족하는 모든 정수 의 합은?

풀이) 양변에 -1을 곱하면 3x²+5x-2≤0

좌변을 인수분해해 (3x-1)(x+2)≤0

이제 위에서 배운대로 0보다 작거나 같기 때문에 -2≤x≤1/3

예제2) 이차부등식 ax² + 12x + b ≥ 0 의 해를 구하면 x=2 가 나올 때 a+b의 값을 구하시오.

풀이) 이차부등식에서 x=3 라는 해만 나올 경우는 특수한 이차부등식 ④에서 설명했듯

(x-3)² ≤ 0 인 경우에 x=3이라는 해가 나온다.

이 식을 전개하면 x² - 6x + 9 ≤ 0 이다. 위 문제에서 일차항의 계수가 12이므로

지금 식의 양변에 -2를 곱하면 -2x² + 12x - 18 ≥ 0 이 된다.

∴ a = -2, b = -18

2. 절대부등식

전체집합에 속하는 모든 원소를 해당 부등식에 대입했을 때, 항상 부등식이 성립한다면 그 부등식을 절대부등식이라고

한다. (※ 항상 등식을 만족하는 식을 항등식이라고 하는 것과 비슷한 개념으로 부등식에서 절대부등식이라고 한다)

위에 특수한 이차부등식 ②에서 (x-2)² ≥ 0 은 x가 모든 실수가 나오므로 절대부등식이라고 할 수 있다.

예1) x² - 4x + 5 > 0 의 해를 구해보자.

좌변을 완전제곱식 형태로 고쳐보면 (x - 2)² +1 > 0 이 된다.

(x-2)² ≥ 0 이고 그 식의 양변에 1을 더한 형태이므로 (x-2)² + 1 ≥ 1 > 0 이 된다.

모든 실수를 x에 대입하더라도 항상 0보다 크게 되므로 위 부등식은 절대부등식이 된다.

예2) a > 0, b > 0 일 때

a+b/2 ≥ √ab (단, 등호는 a=b 일 때 성립)

우리가 흔히 산술-기하 평균이라 일컫는 위 식도 대표적인 절대부등식이다. 다만, 전체집합이 양수만을 원소로 갖기

때문에 위 식의 a와 b에 어떤 양수를 대입해도 위 식은 성립하게 된다.

예제) a > 0 , b > 0 이고, a²+b²=12 일 때, ab의 최댓값을 구하시오.

풀이) 절대부등식 산술-기하평균을 이용해

a²+b²/2 ≥ √a²b² => 6 ≥ ab

∴ ab의 최댓값은 6

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