6화 고1 순열과 조합
1. 순열(Permutation) vs 조합(Combination)
[순열] 5명의 학생이 있는데 나란하게 놓여있는 3개의 의자에 5명중 3명을 앉게 하려고 한다.
앉을 수 있는 경우의 수는?
==> 첫 번째 의자에 앉을 수 있는 학생은 5명중 한명, 두 번째 의자에 앉을 수 있는 학생은 4명중 한명,
세 번째 의자에 앉을 수 있는 학생은 3명중 한명.
5x4x3 = 60 (가지)
==> 위의 풀이를 기호로 써서 나타내면 5P₃ (5라는 숫자에서 하나씩 줄어 세 칸 내려온 숫자까지 곱해라)
[조합] 5명의 학생이 있다. 5명중 3명에게 같은 이어폰을 주려고 한다. 3명을 선택하는 경우의 수는?
==> 위의 순열과 같이 5x4x3 까지는 같다. 하지만 이 문제는 이어폰을 받은 3명의 학생의 순서가 정해져
있지 않다. 그렇기 때문에 총 6가지가 겹쳐 나온다.
==> 5x4x3/3x2x1(분수) = 10 (가지)
==> 위의 풀이를 기호로 써서 나타내면 5C₃ = 5(작은 크기)P₃/3x2x1 이런 식으로 계산하게 된다.
결론 : 순열은 서로 다른 n명을 서로 다른 r개의 위치에 배치할 때 : qPr
조합은 서로 다른 n명 중에서 서로 다른 r명을 선택할 때 : qCr
2. 문제로 이해하는 순열과 조합
문제1) 어느 카페에서 직원을 모집하는데 12명이 지원했고, 이 중에서 3명을 뽑으려고 한다. 남자 지원자가
적어도 한 명 포함되도록 뽑는 방법의 수가 164일 때, 남자 지원자 수를 구하시오.
풀이) 12명 중에서 3명을 뽑는 방법의 수는 12C3 = 220
여자 지원자를 n(n≥3)명이라 하면 여자만 3명을 뽑는 방법의 수는 nC3
이 때, 남자 지원자를 적어도 한 명 포함하도록 뽑는 방법의 수가 164이므로
220-nC3=164, nC3=56
n(n-1)(n-2)/3x2x1=56, n(n-1)(n-2) = 8x7x6
그러므로 n = 8
따라서 여자 지원자가 8명이므로 남자 지원자 수는 12-8 = 4
문제2) 1부터 9까지의 자연수 중에서 서로 다른 홀수 3개, 서로 다른 짝수 2개를 택해 만들 수 있는 다섯 자리 자연수의 개수는?
풀이) 1부터 9까지 자연수 중 홀수는 1, 3, 5, 7, 9 → 5개,
짝수는 2, 4, 6, 8 → 4이므로 홀수 3개를 택하는 방법의 수는 5C3=5C2=10
짝수 2개를 택하는 방법의 수는 4C2=6
5개의 자연수를 일렬로 나열하는 방법의 수는 5! = 120
따라서 구하는 자연수의 개수는 10x6x120 = 7200
문제3) A, B를 포함한 6명의 학생을 일렬로 세울 때, A와 B사이에 한 명의 학생만 들어가도록 세우는
방법의 수를 구하는 풀이 과정과 그 답을 써라.
풀이) A, B를 제외한 4명 중에서 A, B 사이에 들어갈 학생 한 명을 뽑는 방법의 수는 4C1 =4 (가지)
A, B와 A, B 사이에 들어갈 한 명의 학생을 한 사람으로 생각하면 4명을 일렬로 세우는 방법의 수는 4! (가지)
A, B가 자리를 바꾸는 방법의 수는 2! (가지)
따라서 구하는 방법의 수는 4x4!x2! = 192 (가지)
문제4) 성수가 8단의 계단을 오르는데 한 걸음에 한 단 또는 두 단을 오른다고 한다. 성수가 8단의 계단을
오르는 방법의 수를 구하는 풀이 과정과 그 답을 써라.
풀이) 1단을 a회, 2단을 b회 오른다고 하면
a+2b=8 (단, a, b는 음이 아닌 정수)
(1) a=8, b=0 일 때, 1 가지
(2) a=6, b=1 일 때, a는 6개, b는 1개를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같으므로 7!/6!1! =7가지
(3) a=4, b=2 일 때, a는 4개, b는 2개를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같으므로 6!/4!2!=15 가지
(4) a=2, b=3 일 때, a는 2개, b는 3개를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같으므로 5!/2!3!=10(가지)
(5) a = 0, b=4 일 때, 1 가지
따라서 구하는 방법의 수는 34가지
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