6화 고1 순열과 조합

초등학교와 중학교 2학년, 그리고 고등학교 1학년 2학기 기말고사에 해당하는 부분에 수록돼 있는 순열과 조합에 대해 알아보겠다. 순열과 조합은 사실 고등학교 2학년 확률과 통계라는 단원의 첫 부분에 나왔는데 교과 과정이 개편되면서 고등학교 1학년 마지막 부분으로 내려와 예전보다는 더 먼저 학습하게 된다. 비록 고등학교 1학년으로 단원이 내려왔지만 중학교 2학년에서 배웠던 내용에 비해 많이 어려워지지 않았으므로 자신감을 가지고 접근해야 한다. 또한 계산 과정이 복잡한 단원은 아니지만 발생할 수 있는 상황을 침착하게 생각해보고 따져봐야 하는 단원인 만큼 침착성과 집중력, 치밀함이 필요한 단원이다. 순열과 조합을 구분해 다양한 문제에서 실력을 발휘할 수 있도록 노력해보자.

1. 순열(Permutation) vs 조합(Combination)

[순열] 5명의 학생이 있는데 나란하게 놓여있는 3개의 의자에 5명중 3명을 앉게 하려고 한다.

앉을 수 있는 경우의 수는?

==> 첫 번째 의자에 앉을 수 있는 학생은 5명중 한명, 두 번째 의자에 앉을 수 있는 학생은 4명중 한명,

세 번째 의자에 앉을 수 있는 학생은 3명중 한명.

5x4x3 = 60 (가지)

==> 위의 풀이를 기호로 써서 나타내면 5P₃ (5라는 숫자에서 하나씩 줄어 세 칸 내려온 숫자까지 곱해라)

[조합] 5명의 학생이 있다. 5명중 3명에게 같은 이어폰을 주려고 한다. 3명을 선택하는 경우의 수는?

==> 위의 순열과 같이 5x4x3 까지는 같다. 하지만 이 문제는 이어폰을 받은 3명의 학생의 순서가 정해져

있지 않다. 그렇기 때문에 총 6가지가 겹쳐 나온다.

==> 5x4x3/3x2x1(분수) = 10 (가지)

==> 위의 풀이를 기호로 써서 나타내면 5C₃ = 5(작은 크기)P₃/3x2x1 이런 식으로 계산하게 된다.

결론 : 순열은 서로 다른 n명을 서로 다른 r개의 위치에 배치할 때 : qPr

조합은 서로 다른 n명 중에서 서로 다른 r명을 선택할 때 : qCr

2. 문제로 이해하는 순열과 조합

문제1) 어느 카페에서 직원을 모집하는데 12명이 지원했고, 이 중에서 3명을 뽑으려고 한다. 남자 지원자가

적어도 한 명 포함되도록 뽑는 방법의 수가 164일 때, 남자 지원자 수를 구하시오.

풀이) 12명 중에서 3명을 뽑는 방법의 수는 12C3 = 220

여자 지원자를 n(n≥3)명이라 하면 여자만 3명을 뽑는 방법의 수는 nC3

이 때, 남자 지원자를 적어도 한 명 포함하도록 뽑는 방법의 수가 164이므로

220-nC3=164, nC3=56

n(n-1)(n-2)/3x2x1=56, n(n-1)(n-2) = 8x7x6

그러므로 n = 8

따라서 여자 지원자가 8명이므로 남자 지원자 수는 12-8 = 4

문제2) 1부터 9까지의 자연수 중에서 서로 다른 홀수 3개, 서로 다른 짝수 2개를 택해 만들 수 있는 다섯 자리 자연수의 개수는?

풀이) 1부터 9까지 자연수 중 홀수는 1, 3, 5, 7, 9 → 5개,

짝수는 2, 4, 6, 8 → 4이므로 홀수 3개를 택하는 방법의 수는 5C3=5C2=10

짝수 2개를 택하는 방법의 수는 4C2=6

5개의 자연수를 일렬로 나열하는 방법의 수는 5! = 120

따라서 구하는 자연수의 개수는 10x6x120 = 7200

문제3) A, B를 포함한 6명의 학생을 일렬로 세울 때, A와 B사이에 한 명의 학생만 들어가도록 세우는

방법의 수를 구하는 풀이 과정과 그 답을 써라.

풀이) A, B를 제외한 4명 중에서 A, B 사이에 들어갈 학생 한 명을 뽑는 방법의 수는 4C1 =4 (가지)

A, B와 A, B 사이에 들어갈 한 명의 학생을 한 사람으로 생각하면 4명을 일렬로 세우는 방법의 수는 4! (가지)

A, B가 자리를 바꾸는 방법의 수는 2! (가지)

따라서 구하는 방법의 수는 4x4!x2! = 192 (가지)

문제4) 성수가 8단의 계단을 오르는데 한 걸음에 한 단 또는 두 단을 오른다고 한다. 성수가 8단의 계단을

오르는 방법의 수를 구하는 풀이 과정과 그 답을 써라.

풀이) 1단을 a회, 2단을 b회 오른다고 하면

a+2b=8 (단, a, b는 음이 아닌 정수)

(1) a=8, b=0 일 때, 1 가지

(2) a=6, b=1 일 때, a는 6개, b는 1개를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같으므로 7!/6!1! =7가지

(3) a=4, b=2 일 때, a는 4개, b는 2개를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같으므로 6!/4!2!=15 가지

(4) a=2, b=3 일 때, a는 2개, b는 3개를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같으므로 5!/2!3!=10(가지)

(5) a = 0, b=4 일 때, 1 가지

따라서 구하는 방법의 수는 34가지

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