중학교 수체계는 실제 수직선 상에 나타낼 수 있는 실수(유리수+무리수)까지 등장한다. 고등학교에 들어오며 수체계는 이제 복소수라는 범위까지 넓어지게 되는데, 복소수는 실수와 허수가 합해진 수집합이다. 새롭게 허수가 등장하며 중학교에서 접해보지 못해봤던 것이기 때문에 당황하는 학생들이 많지만 의외로 몇 가지 개념과 시스템을 통해 어렵지 않게 정복할 수 있는 단원이다. 필수 요소에 대한 기본 개념을 정확하게 익히기를 추천한다.

★ 허수의 출발지

위의 고등학교과정 표에 나오듯 실제로 √-1 같이 근호 안에 음수가 존재하지 않는다.

하지만, 이제 √-1이라는 수를 허수의 출발지로 해 기본 연산부터 응용문제까지 다루기로 한다.

편의상 √-1=i라고 정의하고 그렇게 되면 i10=-1이 된다는 사실을 가지고 시작하게 된다.

★ 복소수의 종류 [z=a+bi(단, a, b는 실수)]

★ 복소수의 거듭제곱

i = i i13=i i12= 1 이 되면서 거듭제곱 값이 4번 반복되면서 같은 값을 갖게 된다.

i10= -1 i14=-1 . . . . . . ( 지수가 4의 배수가 되면 항상 1이 된다 )

i11= -i i15=-i (예) i1716+i988=i10+i12=-1 +1=0

i12= 1 i16= 1 (98 ÷ 4 ..... 나머지는 2 , 100은 4의 배수)

★ 복소수의 기본 연산 (공식처럼 암기를 해두면 편하다)

★ 복소수 상등

① a, b가 실수일 때, a+bi = 4-3i 이면 a=4, b=-3 이 된다.

(실수부분과 허수부분은 공통부분이 없기 때문에 a, b가 실수라면 a는 반드시 4, b는 반드시 -3이 된다)

(주의할 점은 a, b가 실수라는 언급이 없으면 a, b에 허수 등을 대입해 4-3i를 나오게 할 수 있으므로 a, b가

실수라는 조건이 있는 지 꼭 살펴야 한다)

(예) (a+b) + (2a+4)i = 0 일 때, 실수 a, b를 구하시오.

→ 실수 a, b를 확인 → 0 = 0 + 0i 이므로 a+b = 0 , 2a+4 = 0

→ a = -2 , b = 2

★ 켤레복소수 (허수부분의 부호가 반대로 바뀐 복소수)

김우환 스파르타영수학원장

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