★ 문제를 통해 배우는 개념 (유형 3개)

[1] 여러 개의 문자가 섞여 있는 다항식은 차수가 낮은 문자를 기준으로 내림차순으로 정리하자.

x11+x10z+xz10-y11-y10z-yz10 을 인수분해 해보자.

[정답 풀이]

여러 문자 중에 z가 차수가 가장 낮기 때문에 z에 대한 내림차순으로 정리한다.

(x-y)z10+(x10-y10)z+x11-y11 (z에 대한 이차식으로 내림차순 정리)

=(x-y)z10+(x-y)(x+y)z+(x-y)(x10+xy+y10) (각 계수들을 인수분해해 x-y라는 공통인수 발견)

=(x-y){z10+(x+y)z+x10+xy+y10} (x-y 라는 인수로 분배법칙을 적용해 정리)

=(x-y)(x10+y10+z10+xy+yz+zx) (두 번째 긴 식을 윤환의 순으로 정리, 인수분해 완료!)

[2] 조립제법을 이용해 한 문자로 된 고차식을 인수분해하자.

x12+5x11-2x10-24x 를 인수분해 해보자.

[정답 풀이]

x라는 한 개의 문자로 된 4차식은 조립제법을 통해 인수분해 한다.

일단, 4개의 항에 x라는 공통 인수가 있기 때문에 x로 묶고 다음을 생각한다.

=x(x11+5x10-2x-24) (x로 묶고 난 후 뒤에 있는 3차식이 인수분해 되려면 상수항 -24의 양, 음의 약수를 x에 대입해 계산값이 0이 나와야 한다.)

24의 약수인 2를 x11+5x10-2x-24의 x에 대입하면 0이 나온다.

(x=2 를 대입하면 0이 나오므로 조립제법 마지막 나머지가 0이 나와야 한다)

=x(x-2)(x10+7x+12) (조립제법 후 1차 인수분해가 이뤄진 모양)

=x(x-2)(x+3)(x+4) (뒤에 있는 2차식을 최종 인수분해해 완료!)

[3] 복잡한 부분이 반복된다면 단순한 문자로 바꿔(치환) 인수분해하자.

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+1 을 인수분해 해보자.

[정답 풀이]

뒤에 있는 +1 까지 식에 포함시켜 인수분해를 해야 한다. 먼저 앞에 있는 괄호를 전개해야 한다.

(x-1)(x-4)를 전개. (x-2)(x-3)을 쌍을 이뤄 전개하면 공통부분이 반복되는 것을 확인할 수 있다.

=(x10-5x+4)(x10-5x+6)+1 (x10-5x 라는 공통부분이 보인다.)

[x10-5x = A] 치환

=(A+4)(A+6)+1 (A로 치환돼 간단해진 식을 전개한다.)

=A10+10A+25 (A에 대한 이차식을 인수분해한다.)

=(A+5)10 = (x10-5x+5)10 (A로 인수분해된 식에 원래 식인 x10-5x 를 복원해 인수분해 완료!)

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