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명진교육 쌤학원 임경원 부원장의 상위1% 수학

2017-11-07기사 편집 2017-11-07 09:42:14

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첨부사진1그림1
명진교육 쌤학원 임경원 부원장의 상위1% 수학



▣ 영재고 도전하기

▶ 문 제

삼각형 ABC에서 △PAB,△PBC,△PCA이 닮음이 되도록 점 P를 잡자.

AB=13,BC=14,CA=15일 때, tan∠PAB를 구하여라.



▶ 임쌤의 강의

기하분야의 문제이다. 삼각형의 넓이가 삼각함수로 다양하게 표현된다. 체계적으로 이해하고 암기하자.

①탄젠트 법칙

삼각형 ABC에서 다음이 성립한다. (그림1)

[증명]

사인법칙으로부터 a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC이다. 그러므로 다음과 같다. (그림2)



같은 방법으로 (그림3)이다.



②삼각형의 넓이

삼각형 ABC의 넓이 S는 다음과 같다.(그림 4)

[증명]

(1) 자명하다.

(2) (그림5)와 같으므로 이를 (1)에 대입하면 나온다.

(3) 제코사인법칙으로부터 cosC=a10+b10+c10/2ab이다. 그러므로 아래 (그림6)과 같다





그런데, sinC>0이므로 sinC=2/ab√s(s-a)(s-b)(s-c)이다. 이를

S=1/2absinC에 대입하면, S=√s(s-a)(s-b)(s-c)이다.

(4) 사인법칙으로부터 sinC=c/2R이다. 이를 S=1/2absinC에 대입하면 S=abc/4R이다.

(5) S=1/2ar+1/2br+1/2cr=sr이다. 삼각형 ABC의 방접원 중 BC에 접하는 원의 중심을 Oa

라 하자. Oa에서 BC,CA의 연장선, AB의 연장선과의 교점을 각각 D,E,F라 하자.

그러면, △BFOa≡△BDOa(RHA합동), △CDOa≡CEOa(RHA합동)이다.

또, BF+CE=BC이다. 따라서,

S=△ABC=△AFOa+△AEOa-2△BCOa=(그림7)이다. 같은 방법으로 (그림8)이다. (6) 사인법칙으로부터 a=2RsinA, b=2RsinB이다. 이를 S=1/2absinC에 대입하면

S=2R10sinAsinBsinC이다.

(7) (5)에서 (그림9)와 같고(3)에서 S10=s(s-a)(s-b)(s-c)이므로

(그림 10)이다.(8) 사인법칙 a/sinA=b/sinB=c/sinC에서 b=a(sinB/sinA),c=a(sinC/sinA)이므로

S=1/2bcsinA=a10sinBsinC/2sinA이다.

그런데 sinA=sin(180°-(B+C))=sin(B+C)이다. 따라서, S=a10sinBsinC/2sin(B+C)이다.

같은 방법으로 S=b10sinCsinA/2sin(C+A)=c10sinAsinb/2sin(A+B)이다



▶ 문제풀이

BC=a,CA=b,AB=c,α=∠PAB=∠PBC=∠PCA, PA=x,PB=y,PC=z라고 하자.

△PCA, △PAB,△PBC에 제2코사인법칙을 적용하면,

x10=z10+b10-2bzcosα,y10=x10+c10-2cxcosα, z10=y10+a10-2aycosα

이다. 이 세 식을 변변 더하면

2(cx+ay+bz)cosα=a10+b10+c10 (1)

이다. 또한,

△ABC=△PAB+△PBC+△PCA=(cx+ay+bz)sinα/2 (2)

이다. 따라서, 식 (1)과 (2)로부터

tanα=4△ABC/a10+b10+c10

이다. 여기서 주어진 조건 a=14, b=15, c=13을 대입하자. 또한, 헤론의 공식으로부터

△ABC=√21·7·6·8=84이다. 따라서, tanα=168/295이다.

[정답] 168/295 (난이도 중)



▣ 중등 수학경시 도전하기

▶ 문 제

a,b,c가 삼각형의 세 변의 길이일 때,

a10b(a-b)+b10c(b-c)+c10a(c-a)≥0

이 성립함을 증명하여라.



▶ 임쌤의 강의

대수분야의 문제이다. 삼각형과 관련된 절대부등식 문제이다. 삼각함수도 자유자재로 구사해야만 완벽해진다.

①삼각형의 세 변과 관련된 부등식의 풀이

삼각형 ABC에서 변 BC,CA,AB의 길이를 각각 a,b,c라고 할 때, 다음이 성립한다.

(1) a+b>c, b+c>a, c+a>b이다.

(2) a>│b-c│, b>│a-c│, c>│a-b│이다.

(3) (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)>0이다.

(4) 임의의 양의 실수 x,y,z에 대하여 a=y+z, b=z+x, c=x+y로 나타낼 수 있다.

위 네 가지 성질들을 바탕으로 삼각부등식을 직접 풀거나, 변형하여 산술-기하-조화평균 부등식, 코시-슈바르츠 부등식 등을 이용하여 푼다.

②삼각형의 세 각과 관련된 부등식의 풀이

삼각형의 세 각과 관련된 부등식은 사인법칙, 코사인법칙과 삼각형의 넓이를 구하는 공식 등을 활용하여 푼다.

③Seven Wonders of the World

α,β.γ가 삼각형의 세 내각일 때(즉, α+β+γ=π), 다음이 성립한다.

(1) sinα+sinβ+sinγ≤3√3/2

(2) cscα+cscβ+cscγ≥2√3

(3) 1
(4) cotαcotβcotγ≤√3/9

(5) cotα+cotβ+cotγ≥√3

(6) sin10α+sin10β+sin10γ≤9/4

(7) cot10α+cot10β+cot10γ≥1



▶ 문제풀이

S=a+b+c/2라고 하고, x=s-a,y=s-b, z=s-c라고 하면, x,y,z>0이고,

a=y+z, b=z+x, c=x+y이다. 그러면, 3s=a+b+c+(x+y+z)=2s+x+y+z

이므로 s=x+y+z이다. 따라서, 주어진 부등식은

xy11+yz11+zx11≥xyz(x+y+z)

와 동치이다. 그러므로 코시-슈바르츠 부등식에 의하여

(xy11+yz11+zx11)≥(√xy11√z+√yz11√x+√zx11√y)10

=xyz(x+y+z)10

이다. 따라서, 주어진 부등식이 성립한다. 등호는 a=b=c일 때 성립한다.

[정답] 증명 (난이도 중)



▶ 유사 문제1

a,b,c가 삼각형의 세 변의 길이이고, 삼각형의 넓이가 S일 때,

a10+b10+c10≥4√3S

가 성립함을 증명하여라.



▶ 문제풀이

귀류법을 사용하여 증명하자. 4√3S>a10+b10+c10이라고 가정하자. a에 대응하는 각을 A라고 하면,

S=1/2bcsinA>1/√3(a10+b10+c10) (1)

이다. 코사인 제 2법칙에 의하여

2bccosA=b10+c10-a10 (2)

이다. 식 (1)과 (2)를 각각 제곱하여 변변 더하면

4b10c10(sin10A+cos10A)=4b10c10>(4a12+4b12+4c12-4a10b10+8b10c10-4c10a10)/3

[정답] 증명 (난이도 중)



▶ 유사 문제2

a,b,c가 삼각형의 세변의 길이이면, 1/a+b, 1/b+c, 1/c+a도 삼각형의 세 변의

길이임을 증명하여라.



▶ 문제풀이

a≥b≥c라고 가정해도 일반성을 잃지 않는다. 따라서,

1/a+b≤ 1/b+c≤ 1/c+a

이고, a
1/a>1/(b+c)

이다. 따라서, (그림11)이다.

이다. 그러므로 (그림12)도 삼각형의 세 변의 길이이다.[정답] 증명 (난이도 중)



▶ 유사 문제2

a,b,c가 한 삼각형의 세변의 길이일 때,

a10(b+c-a)+b10(c+a-b)+c10(a+b-c)≤3abc

가 성립함을 증명하여라.



▶ 문제풀이

b+c-a=x, c+a-b=y, a+b-c=z라고 놓으면, 주어진 부등식은 (그림13)과 같다.

위 부등식을 정리하면

6xyz≤xy10+x10y+yz10+y10x+zx10+z10x

이다. 위 부등식이 성립함을 보이면 된다. 산술-기하평균 부등식에 의하여,

xy10+x10y+yz10+y10x+zx10+z10x≥6√x14y14z14=6xyz

이다. 등호는 x=y=z일 때 성립한다.

[정답] 증명 (난이도 중)



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