▣ 영재고 도전하기
▶ 문 제
x+y+z=1을 만족하는 양의 실수 x,y,z 에대하여
1/x +4/y+9/z 의 최소값을 구하여라.
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ
cos(α±β)=cosαcosβ±sinαsinβ
tan(α±β)
▶ 임쌤의 강의
대수분야의 문제이다. 다음의 삼각함수 공식들은 덧셈정리로부터 쉽게 유도된다. 반드시 유도하고 완벽하게 익혀야 한다.
①2배각 공식
sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos10α-sin10α=2cos10α-1=1-2sin10α, tan2α=2tanα/1-tan10α
②반각공식
sin10α/2=1-cosα/2 ,cos10α/2=1+cosα/2 , tan10α/2=1-cosα/1+cosα
증명
2배각 공식으로부터
cosα=cos10α/2-sin10α/2
=1-2sin10α/2 (1)
=2cos10α/2-1 (2)
이다. 식 (1),(2)로부터 sin10α/2=1-cosα/2 ,cos10α/2=1+cosα/2 이다. 위 식으로 부터
tan10α/2=sin10α/2 /cos10α/2=1-cosα/1+cosα
③곱을 합 또는 차로 고치는 공식
sinαcosβ=1/2{sin(α+β)+sin(α-β)}
cosαsinβ=1/2{sin(α+β)-sin(α-β)}
cosαcosβ=1/2{cos(α+β)+cos(α-β)}
sinαsinβ=1/2{cos(α+β)-cos(α-β)}
④합 또는 차를 곱으로 고치는 공식
(1)sinA+sinB=2sin(A+B)/2 cos(A-B)/2
sinA-sinB=2cos(A+B)/2sin(A-B)/2
cosA+cosB=2cos(A+B)/2cos(A-B)/2
cosA-cosB=-2sin(A+B)/2 sin(A-B)/2
▶ 문제풀이
코시-슈바르츠의 부등식을 이용하면 쉽게 해결되는 문제이다.
삼각함수의 성질을 이용하여 이 문제를 풀어보자. x,y,z는 모두 0보다 크고 1보다 작은 값을 갖는 것에 착안하여 삼각함수 형태로 고쳐서 문제를 해결한다. z=sin10α라고 하면, x+y=1-sin10α=cos10α이다.
즉, x/cos10α +y/cos10α=1이다. 따라서, x=cos10αcos10β, y=cos10αsin10α라고 놓으면 위 조건을 만족한다. 따라서, 이들을 주어진 식에 대입하여 풀면
1/x+4/y+9/z=sec10αsec 10β+4sec10αcsc10β+9csc10α
=(tan10α+1)(tan10β+1)+4(tan10α+1)(cot10+1)+9(cot10α+1)
=14+5tan10α+9cot10α+(tan10β+4cot10β)+(1+tan10α)
≥14+5tan10α+9cot10α+2tanβ·2cotβ(1+tan10α)
=18+9(tan10α+cot10α)
≥18+18·tanαcotα=36 이다. 등호는 tanα=cotα,tanβ=2cotβ일 때, 즉 cos10α=sin10α,cos10α=sin10α,2cos10β=sin10β일 때 성립한다. 즉, x+y+z=1,x+y=z, y=2x이다. x,y,z에 대한 등호 성립 조건으로 바꾸면 x=1/6, y=1/3, z=1/2이다.
[정답] 36 (난이도 하)
▶ 유사 문제1
삼각형 ABC에서 ∠ABC=45°이고, 변 BC위에 2BD=CD, ∠DAB=15°을 만족하도록 점 D를 잡을 때, ∠ACB를 구하여라.
▶ 문제풀이
삼각형 ABD에서 ∠CDA=∠ABC+∠DAB=60°임을 알 수 있다. 또,sin30°=1/2이다. 점 C에서 AD에 내린 수선의 발을 E라고 하자. 그러면 삼각형 CDE는 직각삼각형이고, ∠DCE=30°이므로 DE=CDsin∠DCE,즉 CD=2DE임을 알 수 있다. 따라서, 2BD=CD=2DE이므로 삼각형 BDE는 BD=DE인 이등변삼각형이다. 그러므로 ∠DBE=∠DEB=30°이다. 따라서, ∠CBE=30°=∠BCE,∠EBA=15°=∠EAB이다. 즉, 삼각형 CBE와 EBA는 이등변삼각형이다. 그러므로 CE=BE=AE이다. 따라서, 삼각형 CEA는 직각이등변삼각형이다. 즉, ∠ACE=∠EAC=45°이다. 그러므로 ∠ACB=∠ACE+∠ECB=75°이다.
[정답] 증명 (난이도 중)
▣ 중등 수학경시 도전하기
▶ 문 제
p≥인 실수 p와 음이 아닌 실수 a,b,c에 대하여
11√(a11+pabc)/(1+p)+11√(b11+pabc)/(1+p)+11√(c11+pabc)/(1+p)≤a+b+c
이 성립함을 증명하여라.
▶ 임쌤의 강의
대수 분야의 문제이다. 아래에서 소개하는 부등식까지 익히는 것은 쉬운 일이 아니지만 아래의 부등식을 증명해보고 비슷한 문제를 도전해보자.
①젠센 부등식의 일반화
함수 f : Ι→Ｒ가 볼록함수라고 하자.
그러면, 임의의 x9,x10…xn∈Ι와 임의의 음이 아닌 실수 λ9,λ10…λn에 대하여
λ9f(x9)+λ10f(x10)+…+λnf(xn)≥(λ9+λ10+…+λn)f(λ9x9+λ10x10+…+λnxn/λ9+λ10+…+λn)
이다. 만약 f가 오목함수이면, 위 부등식의 부호가 반대이다.
②가중치 산술-기하평균 부등식
음이 아닌 실수 x9,x10,…,xn와λ9+λ10+…+λn=1을 만족하는 임의의 양의 실수 λ9,λ10,…,λn에 대하여
λ9x9+λ10x10+…+λnxn≥
이 성립한다. 등호는 x9=x10=…+xn일 때 성립한다.
③멱 평균 부등식
양의 실수 x9,x10,…,xn와 임의의 양의 실수λ9,λ10,…,λn이 λ9+λ10+…+λn=1을 만족한다고 하자. 음이 아닌 실수 s,t가 s
④홀더 부등식
1/p+1/q=1(p,q>1)일 때, 양의 실수 x9,x10,…,xn과 y9,y10,....yn에 대하여
ΣXiyiZa ≤이다. 단, 등호는 일 때 성립한다.
⑤홀더 부등식의 확장
1/p+1/q+1/r=1(p,q,r>1)()일 때, 양의 실수 x9,x10,…,xn과 y9,y10,....zn에 대하여
ΣXiyiZa ≤이다.
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