▶ 문 제
원 위의 한 점 에서 세 현 , , 를 긋고 이 세 현 , , 를 각각 지름으로 하는 원 , , 를 그리자. 원 와 의 교점 중 가 아닌 점을 , 원 와 의 교점 중 가 아닌 점을 , 원 와 의 교점 중 가 아닌 점을 라 하면, 세 점 , , 가 한 직선 위에 있음을 보여라.
▶ 임쌤의 강의
기하분야의 문제이다. 심슨의 정리를 알고 있으면 쉽게 해결된다. 원에 외접하는 사각형이 되기 위한 필요충분조건과 심슨의 정리와 그 역에 대해서 설명한다.
①브라마굽타의 공식(Brahmagupta`s Formula)
원에 내접하는 사각형 의 대각선이 서로 직교할 때, 그 교점 에서 한 변 에 그은 수선 의 연장선을 의 대변 를 이등분한다.
증명
라고 하자. 그러면 이다. 또,
이다. 그러므로 이고, 따라서, 이다. 즉, 는 직각
삼각형 의 외심이므로 이다.
②원에 외접하는 사각형
사각형 가 한 원에 외접하기 위한 필요충분조건은 다음과 같다.
(1) 이다.(듀란드의 문제)
(2) 네 변에 이르는 거리가 같은 점이 존재한다.
(3) 네 각의 이등분선이 한 점에서 만난다.
듀란드의 문제의 증명
사각형 의 두 꼭지점 와 의 내각의 이등분선을 그어 그 교점을 라 하고, 에서 변 , , , 에 내린 수선의 발을 각각 , , , 라 하자. 그러면, (합동)이므로, , 이다. 이므로 이다. 만약 라면 , 이다. 이 때, 이므로 문제의 조건에 모순이다. 만약 라면 , 이다 .이 때,
이므로 문제의 조건에 모순이다. 따라서, 이다 .따라서, 한 점 에서 사각형의 네 변 , , , 에 이르는 거리가 모두 같으므로, 사각형 는 점 를 중심으로 하는 한 원에 외접한다.
③심슨의 정리(Simson`s Theorem)
삼각형 의 외접원 위에 있는 임의의 한 점 에서 삼각형의 세 변 , , 또는 그 연장선에 내린 수선의 발을 각각 , , 라 하자. 그러면, , , 는 한 직선 위에 있다. 여기서, 직선 를 점 에 대한 심슨선이라고 한다.
증명
이므로 , , , 와 , , , 는 각각 한 원 위에 있다. 그러므로 , 이다. 또 , , , 가 한 원 위에 있으므로, 이다. 따라서, 이다. 그러므로 세 점 , , 는 한 직선 위에 있다.
④심슨의 정리의 역
한 점을 지나 삼각형의 세 변에 그은 수선의 발이 한 작선 위에 있으면 그 점은 삼각형의 외접원 위에 있다.
증명
위의 그림에서 세 점 , , 는 한 직선 위에 있고, , , , 와 , , , 가 각각 한 원 위에 있으므로
이다. 즉, 이다. 그러므로 네 점 , , , 는 한 원 위에 있다. 따라서, 는 삼각형 의 외접원 위에 있다.
▶ 문제풀이
이므로 , , 는 한 직선 위에 있다. 마찬가지로,
이므로 , , 도 한 직선 위에 있다. 또, 이다. 그러므로 , , 도 한 직선 위에 있다. 즉, , , 는 각각 점 에 대한 삼각형 의 세 변 , , 의 수선의 발이다. 따라서, 심슨의 정리에 의하여 , , 는 한 직선 위에 있다.
[정답] 증명 (난이도 중)
▶ 유사 문제1
두 원 , 가 점 , 에서 만난다. 한 원 위의 점 에서 직선 , 를 긋고 다른 원 와 만나는 점을 각각 , 라고 한다. 에서 에 내린 수선의 발을 라고 하자. 그러면, 는 반드시 중심 을 지난다는 것을 증명하여라.
▶ 문제풀이
와 원 이 만나는 점을 라 하고, 와 , 와 를 연결한다. 그러면 이다. 사각형 가 원에 내접하는 사각형이므로 이다. 따라서, 이다. 그러므로, 네 점 , , , 는 한 원 위에 있다. 따라서, 이다. 그러므로 는 원 의 지름이다. 따라서, 는 반드시 중심 을 지난다.
[정답] 증명 (난이도 중)
▣ 중등 수학경시 도전하기
▶ 문 제
아래의 절대부등식(네스빗 부등식(Nesbitt`s Inequality))을 증명하여라.
양의 실수 에 대하여
이다. 단, 등호는 일 때 성립한다.
▶ 임쌤의 강의
대수분야의 문제이다. 지난 호에 이어서 산술-기하-조화평균 부등식과 코시-슈바르츠 부등식을 소개한다. 자유자재로 응용할 수 있도록 연습해 두어야 한다. 여타의 다른 절대부등식도 논리적인 전개를 위해서는 필수적이다. 물론 소개하는 모든 절대부등식을 완벽하게 숙지하고 활용하기를 바란다.
①제곱근 멱-산술-기하-조하평균 부등식의 확장
양의 실수 에 대하여
이 성립한다.
즉, 이 성립한다. 등호는 일 때 성립한다.
②욕심쟁이 알고리즘
합 은 두 수열인 과
이 같은 방법으로 정렬될 경우 최대이고, 반대방법으로 정렬될 경우 즉 하나는 증가하고 하나는 감소할 경우 최소가 된다.
증명
이라고 가정하자. 두 합
에서 의 와 을 바꿈으로써 을 구할 수 있다. 그러면,
이고, 따라서, 이면 이고, 이면 이다.
③재배열 부등식
이고, 인 임의의 개의 실수에 대하여 은 을 적당히 재배열하여 얻은 실수들이라 하면,
이 성립한다. 등호는 가 모두 같거나, 가 모두 같을 때 성립한다. 단, 이다.
이 부등식이 의미하는 것은 큰 수끼리 곱하는 경우가 항상 더 크다는 것이다.
④쳬비셰프 부등식(Chebyshev`s Inequality)
이고, 인
임의의 개의 실수에 대하여
가 성립한다. 등호는 가 모두 같거나 가 모두 같은 경우에 성립한다. 단, 이다.
⑤코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwartz Inequality)
실수 에 대하여
이 성립한다. 등호는 일 때 성립한다.
증명
이다. 등호는 일 때, 성립한다.
▶ 문제풀이
코시-슈바르츠 부등식에 의하여,
이다. 그런데,
이다. 따라서,
이다. 등호는 일 때 성립한다.
[정답] 증명 (난이도 중)
▶ 유사 문제1
양의 실수 에 대하여
가 성립함을 증명하여라.
▶ 문제풀이
위 부등식은
이므로 성립한다.
[정답] 증명 (난이도 하)
▶ 유사 문제2
실수 에 대하여
이 성립함을 보여라.
▶ 문제풀이
라고 가정해도 일반성을 잃지 않는다. 그러면, 쳬비셰프부등식에 의하여,
이다. 따라서,
이다.
[정답] 증명 (난이도 하)
<저작권자ⓒ대전일보사. 무단전재-재배포 금지>