▶ 문 제

인 삼각형 의 내부의 점 에 대하여 이다. 점 에서 세 변 에 내린 수선의 발을 각각 라 할 때, 의 크기는 얼마인가?

▶ 임쌤의 강의

기하분야의 문제이다. 원에 내접하는 사각형의 필요충분조건을 이해하고 문제에 적용할 수 있도록 숙지해야 한다. 특히 톨레미의 정리는 매우 중요하므로 반드시 익혀야 한다.

①사각형의 한 외각에 이웃한 내각에 대한 대각을 그 외각에 대한 내대각이라고 한다.

②원에 내접하는 사각형

사각형 가 한 원에 내접하기 위한 필요충분조건은 다음과 같다.

(1) 원에 내접하는 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합은 이다.

(2) 원에 내접하는 사각형에서 한 외각의 크기는 그 내대각의 크기와 같다.

(3) 임의의 한 변에서, 나머지 두 점을 바라보는 각이 같다. 변 에서 점 을 바라보는 각이 , 점 를 바라보는 각이 라고 할 때, 이다.

(4) 두 대각선의 교점을 라고 하면 이다.

(5) 두 대변 와 (또는 와 )의 연장선의 교점을 라 할 때, 또는 이다.

(6) 네 꼭짓점에 이르는 거리가 같은 점이 존재한다.

(7) 네 변에 수직이등분선이 한 점에서 만난다.

(8) (톨레미의 정리) 이다.

③증명 : 증명은 (1)과 (2)의 증명을 아래와 같다. (3), (4), (5)의 증명은 중심각과 원주각의 성질, 방멱의 원리를 이용하면 된다. (6), (7)은 원에 내접하는 사각형의 정의를 이용하면 된다. (8)은 톨레미정리의 증명은 아래의 문제로 남겨둔다.

(1) 에서 라 하고, 세 점 를 지나는 원 위에 점 를 잡는다. 은 원 에 내접하는 사각형이므로 이다. 따라서, 이다. 호 에 대한 원주각의 크기가 같으므로 는 원 위에 있다. 따라서, 는 원에 내접한다. 역의 증명은 원주각과 중심각의 성질에 의하여 쉽게 증명된다.

(2)에서 (내대각)이므로 이다 즉, 한 쌍의 대각의 크기의 합이 이다. 즉, 한 쌍의 대각의 크기의 합이 이므로 (1)에 의하여 는 원에 내접한다. 역의 증명은 쉬우니 직접 해본다.

▶ 문제풀이

사각형 과 은 대각의 합이 이므로 원에 내접하는 사각형들이다. 그러므로,

가 되고, 이것을 계산하면, 이다.

[정답] (난이도 중)

▶ 유사 문제1

톨레미의 정리(Ptolemy`s Theorem)

원에 내접하는 사각형 의 대변의 길이의 곱을 합한 것은 대각선의 길이의 곱과 같다. 즉,

가 성립한다.

톨레미의 정리를 증명하여라.

▶ 문제풀이

위의 한 점 가 을 만족한다고 하자. 그러면, 호 에 대한 원주각의 성질에 의하여 이다. 따라서, 와 가 닮음이다.

(1)

이다. 또한, , 호 에 대한 원주각의 성질에 의하여 이다. 따라서, 와 는 닮음이다.

(2)

이다. 식 (1), (2) 를 변변 더하면

이다.

[정답] 증명 (난이도 상)

▣ 중등 수학경시 도전하기

▶ 문 제

방정식 을 만족시키는 자연수의 순서쌍을 모두

라 할때, 를 구하여라.

▶ 임쌤의 강의

정수론 분야의 문제이다. 지난 호에 이어서 부정방정식의 해법이다. 접근 방법이 다양한 만큼 여러 가지 문제 유형 분석과 훈련이 필수적이다.

①무한강하법

방정식의 좌변과 우변이 짝수밖에 나올 수 없다는 사실로부터 약분을 무한번 하여도 계속해서 짝수가 나와야 하므로 결국 답은 밖에 없다는 것을 보이는 방법이다.

②부등식의 영역을 이용하는 방법

부등식의 성질을 이용하여 한 변수에 대하여 범위를 좁혀, 주어진 부정방정식의 해를 찾는다.

▶ 문제풀이

을 로 변형하고, 에 대한 부등식을 생각 하자. 에서 해가 존재하지 않으므로, 인 범위에서 살펴보자.

,

이므로, 임을 알 수 있다. 따라서, 만 가능하다. 이 식을

에 대입하여 정리하면, , 을 얻는다. 따라서, 방정식

을 만족시키는 자연수의 순서쌍은뿐이다. 구하는 답은 이다.

[정답] (난이도 중)

▶ 유사 문제1

가 모두 정수가 되는 양의 정수해 순서쌍를 모두 구하여라.

▶ 문제풀이

대칭성의 원리에 의하여 라고 두자. 그런데, 이면

이므로 모순이다. 따라서, 또는 만 가능하다.

(ⅰ) 일 때, 이 정수가 되어야 하므로 이다.

(ⅱ) 일 때,

이 정수이다. 그러므로, 이면,

이 되어 성립한다. 또한 이면, 이므로,

이다. 이를 주어진 식에 대입하면, 일 때만 해가 된다.

즉, 이다.

인 경우에도 살펴보면 대칭성의 원리에 의하여 가 해가 됨을 알 수 있다.

따라서, 주어진 방정식의 양의 정수해 순서쌍이다.

[정답] (난이도 상)

▶ 유사 문제2

을 만족하는 정수해의 순서쌍를 모두 구하여라.

▶ 문제풀이

주어진 식을 변형하면

을 얻는다. 라 놓으면 주어진 방정식은

이다. 라 가정하자. 그러면

이고, , , 가 모두 정수이므로 위의 부등식으로부터

를 얻고 이것은 모순이다. 따라서, 이다. 즉 이고,

이다. 그러므로, 이다. 이를 주어진 방정식에 대입하여 정수 를 구하면 된다.

따라서, 주어진 방정식을 만족하는 정수해의 순서쌍

이다.

[정답] (난이도 중)

▶ 유사 문제3

소수 에 대하여 을 만족하는 양의 정수쌍이 존재할 때, 를 모두 구하여라.

▶ 문제풀이

, 이 되어 소수 일 때, 주어진 방정식을 만족하는 양의 정수쌍이 존재함을 알 수 있다.

이제 인 소수일 때, 주어진 방정식을 만족하는 양의 정수쌍이 존재하지 않음을 무한하강법을 이용하여 보이자.

이라고 하자. 그러면 중 적어도 하나는 보다 크다. 또한,

이 성립한다. 더욱이 이고,

가 성립한다. 따라서, 와 이 모두 로 나 누어 떨어져야 한다. 또, 도 로 나누어 떨어져야 한다. 그런데, 이므로 이어야 한다. 즉 중 적어도 하나는 의 배수이다. 가 로 나누어 떨어지므로 모두 의 배수이다. 따라서, 이다. 그러므로

이어야 한다. 따라서, 에 대한 무한하강법을 사용하면 일 수밖에 없게 되어, 주어진 방정식을 만족하는 양의 정수쌍이 존재하지 않는다. 따라서, 구하는 소수 뿐이다.

[정답] (난이도 상)

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