▶ 문 제
정삼각형 에서, 점 은 의 내부의 점이다. 점 에서 세 변 , , 에 내린 수선의 발을 각각 , , 라 하자. 일 때, 점 은 어떤 도형 위를 움직이는가?
▶ 임쌤의 강의
기하 분야의 문제이다. 네 점이 한 원 위에 있을 조건(공원점 문제)에 관한 문제이다. 문제 안에 잘 내재되는 원리이기 때문에 충분한 연습이 필요하다.
①네 점이 한 원 위에 있기 위한 조건(1)
두 선분 또는 그 연장선이 점 에서 만나고, 이면, 네 점 는 한 원 위에 있다.
증명 :
세 점 를 지나는 원과 선분 또는 그 연장선이 만나는 점을 라고 하면,
(1)
이다. 한편 가정에서
(2)
이다. 식 (1), (2)에서 이다. 즉, 두 점 는 일치하므로 네 점 는 한 원 위에 있다.
②네 점이 한 원 위에 있기 위한 조건(2)
이면 네 점 는 를 지름으로 하는 원 위에 있다.
③네 점이 한 원 위에 있기 위한 조건(3)
선분 에 대하여 같은 쪽에 있는 두 점을 각각 라고 할 때, 이면 네 점 는 한 원 위에 있다.
②번과 ③번의 증명은 중심각과 원주각의 성질에 의하여 쉽게 증명된다.
▶ 문제풀이
이므로 네 점 , , , 는 한 원 위에 있다.
또, 이므로 네 점 , , , 는 한 원 위에 있다. 따라서, , 이다. 그러므로 이다. 따라서, 이므로
이다. 따라서, 점 은 의 내부의 점이면서 를 현으로 갖고, 이 현에 대한 원주각이 인 원 위를 움직인다.
▶ 유사 문제1
삼각형 에서 점 , 에서 각각 변 , 또는 그 연장선에 내린 수선의 발을 , 라 하자. 의 이등분선과 의 이등분선의 교점이 라고 할 때, 가 이등변삼각형임을 증명하여라.
▶ 문제풀이
이므로 를 지름으로 하는 원 위에 점 , 가 있다. 의 이등분선과 원과의 교점을 라고 하자. 그러면 이므로 호 와 호 의 길이는 같다. 마찬가지로, 의 이등분선과 원과의 교점을 라고 하자. 그러면 이므로 호 와 호 의 길이는 같다. 즉, 이다. 따라서, 의 이등분선과 의 이등분선의 교점이 이므로, 이다. 따라서, 현과 원주각의 성질에 의하여, 이므로 이다. 즉, 삼각형 는 이등변 삼각형이다.
▶ 유사 문제2
원 에 외접하는 사각형 에서, , , 일 때, 의 길이를 구하여라.
▶ 문제풀이
원 과 변 , , , 와 접하는 점을 각각 , , , 이라 하자. 또, 이라고 하자. 단, 은 원 의 반지름의 길이이다. 그러면 는 인 이등변삼각형이다. 그러므로 이다. 또한, 이다. 따라서, 는 정삼각형이다. 즉,
이다. 이므로, 이다. 은 정사각형이고, 와 은 정삼각형이므로, 이다. 그러므로 이다. 또한,
이므로, 이다. 주어진 조건으로부터 이므로
이다. 그러므로 , 이므로 이다. 따라서, 이다.
▶ 유사 문제2
대변이 평행하지 않은 볼록사각형 에 내접하는 원 에서, 대각선 와 의 중점을 각각 , 이라 하자. 그러면 , , 은 한 직선 위에 있음을 증명하여라.
▶ 문제풀이
원 의 반지름의 길이를 이라 하자. 원 가 볼록사각형 에 내접하므로 이다. 그런데, 위 식의 양변에 를 곱하면 이다. 즉,
이다. 따라서, 이다 .그런데,
이다. 마찬가지로,
이다. 따라서, , , 은 를 만족하는 점 의 자취의 점이고 의 대변이 평행하지 않으므로 , , 은 같은 직선 위의 점이다.
▣ 중등 수학경시 도전하기
▶ 문 제
연립 합동식 을 풀어라.
▶ 임쌤의 강의
정수론 분야의 문제이다.
①양의 정수 과 에 대하여, 이 과 각각 서로 소이면 은 과 서로 소이다.
증명 : 라고 가정하자. 그러면 과 의 공약수인 소수 가 존재한다.
이므로, 를 만족하는 적당한 가 존재한다. 그러면 는 과 를 모두 나눈다. 즉, 이다. 이것은 주어진 가정에 모순된다. 따라서, 이다.
②양의 정수 과 에 대하여, 이 의 각각의 배수이면 은
의 배수이다.
증명 : 나눗셈의 정리에 의하여,
을 만족하는 정수 이 유일하게 존재한다. 단, 이다.
가 과 을 모두 나눈다고 하면, 는 을 나눈다. 이것은 모든 에 대하여 참이므로, 은 보다 작은 들의 공배수이다. 이것은 오직 일 때만 성립한다. 따라서, 이다. 즉, 은 의 배수이다.
③양의 정수 에 대하여, 이 (즉, 쌍마다 서로 소(pairwise relatively prime))이면, 이 성립한다.
중국인의 나머지 정리(The Chinese Remainder Theorem))
이 쌍마다 서로 소 (즉, )이면, 다음 연립 합동식
은 법 에 대하여 유일할 해를 갖는다.
증명 : (존재성) 라고 하자. 또, 라고 놓자. 즉, 는 를 제외한 나머지
들의 곱을 의미한다.
③정리로부터 이다. 그러므로 을 만족하는 정수 가 존재한다. 합동식 형태로 고치면, 이다.
이제 라고 놓자. 이면 이고,
따라서, 이다. 즉, 는 주어진 연립 합동식의 한 해이다.
(유일성) 가 주어진 연립 합동식의 해라고 하자. 그러면,
이고,
이고,
?
이고,
이다.
그러므로, 임의의 에 대하여, 이고, 그래서 이다. 즉, 는 모든 들의 배수이다. 따라서,
이다. 그런데, 들이 쌍마다 서로 소이므로, 도움정리 ③으로부터이다. 즉,이다. 다시 말해서, 주어진 연립 합동식의 해는 유일하다.
▶ 문제풀이
이므로, 법 에 대하여 해가 유일하게 존재한다. 중국인의 나머지 정리의 증명처럼 해를 구해보자. 먼저, 이고, 이다. 이제 를 구하는 식을 세우면
이다. 이 식을 만족하는 를 구하면 일 때, 합동식이 성립함을 쉽게 알 수 있다. 따라서, 주어진 연립 합동식의 해 이다.
▶ 유사 문제1
연립 합동식 을 풀어라.
▶ 문제풀이
이 쌍마다 서로 소이므로, 주어진 연립 합동식은 법 에 대하여 유일한 해를 갖는다. 이고, 이다.
을 풀면 이 하나의 해가 됨을 알 수 있다. 그러므로,
이다. 따라서 주어진 연립 합동식의 해는 이다.
▶ 유사 문제2
연립 합동식 을 풀어라.
▶ 문제풀이
이므로 주어진 연립 합동식은 법 에 대하여 유일한 해를 갖는다. 이제 그 해를 찾아보자. 이므로 임의의 정수 에 대하여,
이다. 이므로 를 대입하면
이다. 이므로, 합동식의 성질에 의하여
이다. 위 합동식의 양변에 를 곱하고 정리하면
이다. 즉, 임의의 정수 에 대하여 이다. 이 식을 에 대입하면
이다. 따라서, 이다.
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