▶ 문 제
원에 내접하는 삼각형 에서 , , 이다. 변 의 수직이등분선과 원과의 교점 중에서 에 가까운 것을 , 변 의 수직이등분선과 원과의 교점 중에서 에 가까운 것을 , 변 의 수직이등분선과 원과의 교점 중에서 에 가까운 것을 라고 하자. 삼각형 의 세 각 중에서 가장 큰 것은 몇 도인가?
▶ 임쌤의 강의
기하 분야의 문제이다. 원 문제, 특히 각에 대한 문제가 나오면 반드시 고려해야 하는 원주각 문제이다. 원주각의 기본 성질과 증명을 소개한다.
①원주각과 중심각 사이의 관계
한 원에서 원주각과 중심각 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.
(1) 한 원에서 주어진 호(또는 현) 위의 원주각의 크기는 중심각의 크기의 이다.
(2) 한 원에서 같은 길이의 호에 대한 원주각의 크기는 일정하다. 또, 역은 성립한다.
②증명
(1)중심 가 삼각형 의 변 위에 있을 때, 내부에 있을 때, 외부에 있을 때로 나누어 생각하자.
(ⅰ) 의 변 위에 중심 가 있을 때, 는 이등변 삼각형이므로 이다.
또,이다. 따라서, 이다.
(ⅱ) 의 내부에 중심가 있을 때, 의 연장선과 원 와의 교점을 이라고 하면 (ⅰ)에 의하여 이다.
따라서, 이다.
(ⅲ) 의 외부에 중심가 있을 때, 의 연장선과 원 와의 교점을 이라고 하면 (ⅰ)에 의하여 이다.
따라서, 이다.
따라서, 식 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 원주각의 크기는 중심각의 크기의 이다.
(2)이고 호 와 호 가 같으므로, 이다. 따라서, 이다. 즉 같은 길이의 호에 대한 원주각의 크기는 같다.
(역의 증명)
이고, 이므로 이다.
따라서, 호 와 호 는 같다. 즉, 같은 크기의 원주각에 대한 호의 길이는 같다.□
▶ 문제풀이
변 , , 의 수직이등분선과의 변과의 교점을 각각 , , 라 하자. ,
이므로 네 점 , , , 는 한 원 위에 있고, 가 된다. 맞꼭지각인 이므로 중심각과 원주각의 성질에 의하여 이다. 마찬가지 방법으로 , 이다. 따라서, 가장 큰 각은 이다.
[정답] (난이도 중)
▶ 유사 문제1
오각형 가 원에 내접해 있다. 선분 와 선분 의 교점을 , 선분 와 선분 의 교점을 라 하자. 이고, 일 때, 의 값을 구하여라.
▶ 문제풀이
와 의 교점을 라 하자. 이므로 점 , , , 는 한 원 위에
있다. 또한, 내대각과 원주각의 성질에 의하여 , 이므로 이다. 따라서, 이다. 마찬가지로 내대각과 원주각의 성질에 의하여 , 이므로, 이다. 따라서, 이다. 그러므로 삼각형 의 중점연결정리에 의하여 이다.
[정답] (난이도 중)
▣ 중등 수학경시 도전하기
▶ 문 제
일차합동식 를 풀어라.
▶ 임쌤의 강의
정수론 분야의 문제이다. 일차합동식 의 해가 존재하는 필요충분조건과 방정식의 해법에 대해서 알아본다. 일차합동식의 풀이법은 디오판틴 방정식, 유클리드 호제법, 잉여역수 이용하는 방법이 있다.
①일 때, 일차합동식 에 대하여 다음이 성립한다.
(1) 이면, 일차합동식은 정수해를 갖지 않는다.
(2) 이면, 법 에 대하여 정확하게 개의 서로 다른 해를 갖는다.
증명
(1) 방정식 에서, 이므로 이다. 그런데, 가정에서 에 모순된다. 따라서, 주어진 방정식의 해는 존재하지 않는다.
(2) 방정식 의 한 해를 라 하면, 일반해는 임의의 에 대하여
꼴이다.
이 때, 가 바로 를 만족시키는 모든 정수들이다. 임의의 를 로 나누면,
꼴이 되므로 이다.
그러므로 모든 는 각각 중 하나와 법 에 대하여 합동이다.
한편, 이면 이다. 이므로, 정리 합동식의 기본성질에 의하여, 이다. 따라서, 은 모두 법 에 대하여 합동이 아니다.
②정수 에 대하여 일 때, 일차합동식 에 대하여 다음이 성립한다.
(1) 이면 주어진 일차합동식은 정수해를 갖지 않는다.
(2) 이면 주어진 일차합동식은 법 에 대하여 정확하게 개의 서로 다른 해를 갖는다.
▶ 문제풀이
풀이 1 : 일차 디오판틴 방정식 이용
이므로, 적당한 에 대하여 이다.
은 한 해(특이해)이다. 이므로 일반해는 이다.
우리가 구하는 것은 와 관련된 것이므로 이다.
풀이 2 : 유클리드 호제법 이용
이므로, 과 의 일차결합이 과 같다. 실제로, 이다.
이 사실은 우리에게 를 얻기 위하여 의 계수를 조작할 수 있음을 암시한다.
즉,
이다.
풀이 3 :잉여역수 이용
법 에 대한 곱셈표는 아래와 같다.
위 표에서 보듯이 이다. 따라서, 을 주어진 합동식에 곱하면
이다.
[정답] (난이도 중)
▶ 유사 문제1
일차합동식 을 풀어라.
▶ 문제풀이
이므로, 법 에 대하여, 개의 해가 존재한다. 주어진 일차합동식을 디오판틴 방정식으로 변형하자. 즉, 적당한 에 대하여, 이다.
라고 하자.
그러면 이 되고, 위 부정방정식은 을 한 해(특이해)로 갖는다.
일반해는 이다.
이것을 원래 디오판틴 방정식에 대입하면, 이다.
을 특이해로 갖는다.
일반해는 이다.
일 때, 법 에 대하여 가 서로 다른 값을 가지게 되고, 일 때, 법 에 대하여 가 서로 다른 값을 가지게 된다. 따라서, 주어진 일차합동식의 일반해는 이다. 단, 이다.
[정답] 이다. 단, (난이도 중)
▶ 유사 문제2
모든 양의 정수 에 대하여, 이 의 배수임을 증명하여라.
▶ 문제풀이
이므로 의 배수임을 보이는 것은 의 배수임을 보이는 것과 같다. 먼저 의 배수임을 보이자.
이다.
이제 의 배수임을 보이자.
[정답] 증명 (난이도 중)
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