▶ 문 제

삼각형 에서 세 내각이 모두 보다 작을 때, 가 최소가 되게 하는 점 가 삼각형 내부에 유일하게 존재한다. 점 를 구하여라.

▶ 임쌤의 강의

기하 분야의 문제이다. 삼각형 에서 각 꼭짓점에 이르는 거리의 합이 최소가 될 때를 묻는 문제이다. 그 점을 페르마포인트라고 한다. 회전변환이 사용되는 대표적인 문제이며 두 꼭짓점을 연결했을 때의 사잇각이 모두 가 되는 등각점이 페르마포인트가 된다.

▶ 문제풀이

를 삼각형 의 내부의 임의의 점이라고 하자. 를 점 를 중심으로 시계방향으로 회전시킨 도형을 라고 하자. 그러면, 이다. 와 는 정삼각형이다. 그러므로 이다. 따라서,이다. 따라서, 의 최솟값은 이다. 즉, 와 이 모두 위의 점이다.따라서, 이고, 이 직선일 때, 가 최솟값을 갖는다.

[정답] 을 만족하는 점 (난이도 중)

▶ 유사 문제1

삼각형 의 변 또는 내부의 점 에 대하여, 에서 변 , , 에 내린 수선의 발을 각각 , , 라 하자.

그러면가 성립하고, 등호는 가 정삼각형이고, 가 정삼각형 의 중심인 경우에 한하여 성립한다. 여기서, 중심은 무게중심, 내심을 의미한다. 정삼각형에서 무게중심과 내심은 일치한다.

이 정리(에르도스 ?모델의 정리_Erds-Mordell Theroem)를 증명하여라.

▶ 문제풀이

점 , 에 직선 에 내린 수선의 발을 각각 , 라 하자.그러면 (1) 이다. 이므로 제 점 , , , 는 한 원에 위에 있다. 그러므로, 호 에 대한 원주각 이다. 또, 이므로, 이다. 따라서, 와 는 닮음(닮음)이다. 그러므로 이다.즉,(2) 이다. 같은 방

법으로 와 는 닮음(닮음)이다, 그러므로, 이다.즉,(3)

이다. 에 톨레미의

정리를 적용하면

이다. 즉,(4)이다.

식 (1)에 (2), (3)

, (4)를 대입하면이다. 양변에 를 곱하고,

정리하면,(5) 이다. 같은 방법으로(6), 이다. 따라서, 식 (5), (6)의 세 부등식을 변변 더하면이다. 산술 -기하평균 부등식에 의하여

이다. 등호는 , 가 정삼각형 의 중심일 때, 성립한다.

[정답] 증명 (난이도 상)

▶ 유사 문제2

에서 내심을 라 하자, 그러면 , , 중 적어도 하는 의 내접원의 지름보다 크거나 같음을 보여라.

▶ 문제풀이

의 내접원 반지름의 길이를 , 내심 에서 변 , , 에 내린 수선의 발을 각각 , , 라 하자. 그러면 이고, 에로도스 모델의 정리로부터이다. 따라서, , , 중 적어도 하나는 보다 크거나 같다.

[정답] 증명 (난이도 중)

▣ 중등 수학경시 도전하기

▶ 문 제

모든 양의 정수 에 대하여 이 기약분수임을 보여라.

▶ 임쌤의 강의

정수론 분야의 문제이다. 유클리드 호제법(Euclidean Algorithm)은 다음과 같다.

두 양의 정수 에 대하여

일 때, 의 최대공약수는 이다.

증명 : 이면 의 약수는 의 약수이다. 따라서, 이다.

마찬가지로, 이다.

▶ 문제풀이

을 만족하는 정수 가 존재함을 보이면 된다. 실제로, 라 두면 모든 양의 정수 에 대하여, 이다.따라서,

은 서로 소이다.

[정답] 증명 (난이도 중)

▶ 유사 문제1

두 자연수 과 (이 개)의 최대공약수를 구하여라.

▶ 문제풀이

, 이므로, 유클리드 호제법에 의하여, 와 의 최대공약수는 이다.

[정답] 증명 (난이도 하)

▶ 유사 문제2

을 만족하는 자연수 를 구하여라.

▶ 문제풀이

풀이1 :

이다. 즉, 이다.

풀이2

유클리드 호제법에 의하여

이다. 즉, 이다.

[정답] (난이도 하)

▶ 유사 문제3

소수는 무수히 많음을 증명하여라.

▶ 문제풀이

귀류법을 사용하여 증명하자. 유한개의 소수 만이 존재한다고 하자.

다음 수 을 생각하자.

을 으로 나누면, 나머지가 모두 이다. 그런데, 도움정리 1.39에 의하면, 보 다 큰 모든 정수는 적어도 한 개이상의 소수로 나누어 떨어져야 하는데, 은 으로 나누어 떨어지지 않으므로 모순이다. 따라서, 소수는 무수히 많다.

[정답] 증명 (난이도 하)

▶ 유사 문제4

모든 합성수는 그 수의 제곱근보다 작거나 같은 약수(인수)를 갖는다는 사실을 증명하여라.

▶ 문제풀이

을 합성수라고 하자. 그러면

이다. 만약 가 모두 보다 크다면,

이 되어 모순이다. 따라서, 중 적어도 하는 보다 작다.

[정답] 증명 (난이도 하)

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