▶ 문 제
내각이 모두 보다 작은 의 세 변 , , 를 밑변으로 하여 밖에
인 이등변삼각형 , , ㄹ 그렸을 때, 정삼각형임
을 보여라.
▶ 임쌤의 강의
기하분야의 문제이다. 지난 호에 이어서 합동변환 중 대칭변환과 회전변환에 대해서 기본적인 정의와 성질을 공부한다. 그리고 다음호에서는 심화된 문제를 알아본다.
①대칭변환 (대칭이동)은 일정한 점 또는 도형을 대칭인 점 또는 도형으로 대응시키는 변환을 말한다. 선대칭 도형은 한 도형이 직선 에 의하여 두 부분으로 나누어지고, 두 부분이 직선 에 대하여 대칭일 때를 말한다.
②대칭변환의 성질 : 대칭변환은 다음과 같은 성질을 가진다.(1) 두 대응점을 이은 선분은 대칭축에 의하여 수직 이등분한다.(2) 대응하는 두 선분의 연장이 만나는 점은 대칭축 위에 있다.
(3) 점대칭이동을 짝수 번 합성하면 평행이동이다.(4) 점대칭이동을 홀수 번 합성하면 다시 점대칭이동이다.
③대칭점의 판정법 : 다음 두 가지 성질을 만족하면, 두 도형은 대칭이다.(1) 두 대응점을 이은 선분은 대칭축에 의하여 수직 이등분된다.(2) 대응하는 두 선분의 연장이 만나는 점은 대칭축 위에 있다.
④회전변환이란 도형 을 정점(회전중심)을 중심으로 하여 일정한 방향으로 일정한 각도(회전각)만큼 회전시켜 도형 를 얻는 것이다.
⑤회전변환의 성질 : 회전변환 전후의 도형은 다음과 같은 성질을 갖는다.
(1) 대응하는 선분들의 길이가 같고, 대응하는 각들의 크기가 같다.(2) 대응하는 점들의 위치배열 순서가 같다.(3) 대응하는 임의의 두 선분 사이에 끼인각 회전각이다.
▶ 문제풀이
점 를 중심으로 하여 반시계 방향으로 돌리면 , 이므로 점 는 점 에 대응되고, 점 는 점 에 대응된다. 그리고 와 를 연결한다. 볼록 육각형 의 내각의 합이 이고, 세 내각이 이므로
이다.
또, 이다, 따라서, 이다. 또한 , 이므로 (합동)이다. 따라서, , 이다. 이므로 , 이다. 와 에서 , 이므로 는 두 이등변삼각형의 대칭축이다. 따라서, 는 와 를 이등분한다. 즉, , 이다. 따라서, 는 정삼각형이다.
[증명] (난이도 중)
▶ 유사 문제1
인 에서 의 이등분선이 변 와 만나는 점을 라 하자. 선분 위의 임의의 점 에 대하여 임을 보여라.
▶ 문제풀이
변 위에 대하여 점 와 대칭이 되는 점 을 잡자. 그러면 고, 다.
또, 가 공통이므로 (합동)이다. 따라서, 다. 그러므로
이다. 그런데, 이므로 이다.
[증명] (난이도 하)
▶ 유사 문제2
정사각형 의 내부에 점 가 있다. 로부터 세 점 , , 까지의 거리의 합의 최솟값이 이다. 이 때, 정사각형 의 한 변의 길이를 구하여라.
▶ 문제풀이
회전이동을 이용하여 풀자. 점 를 중심으로 반 시계방향으로 를 회전시켜 를 얻으면 , 이다. 따라서, 은 로부터 세 점 , , 까지의 거리의 합의 최솟값이다. 즉, 이다. 에서 , 이다. 정사각형 의 한 변의 길이를 라 하자. 제 코사인법칙을 이용하면 이다. 이를 풀면 이다. 즉, 이다.
[증명] (난이도 중)
▣ 중등 수학경시 도전하기
▶ 문 제
임의의 양의 정수 와 정수 에 대하여 를 만족시키는 정수 이 유일하게 존재한다. 여기서, 를 몫(quotient), 을 나머지(remainder)라고 한다. 이 정리를 나눗셈정리라 한다. 나눗셈 정리를 증명하여라.
▶ 임쌤의 강의
정수론 분야의 문제이다. 정수론의 가장 기본이 되는 나눗셈정리이다. 항상 직관적으로 이해하는 훈련이 필요하다. 하지만 고난이도 문제 해결을 위해서는 존재성과 유일성을 정확하게 보여야 하는 것처럼 부단한 노력이 요구된다. 정리를 이해하기 위한 간단한 배경지식은 다음과 같다.
①일 때, 이면 를 의 공약수라 한다.또, 그 중 가장 큰 것을 최대공약수라 하고, 또는 간단히 로 표시한다. 일 때, 는 서로 소라 한다.
②정수 에 대하여 이면, 를 의 공배수(common multiple)라 한다. 또, 가장 작은 공배수를 최소공배수라 하고, 또는 간단히 로 표시한다.
③에 대하여 다음이 성립한다.
(1)
이므로, 는 보다 크거나 같다. 즉, 이다.
(2)
와 는 동치이다. 즉, 와 는 같은 약수를 갖는다. 그러나, 는 또는 이고, 와 는 같은 약수를 갖는다. 마찬가지로, 와 가 같은 약수를 갖는다.
따라서, 가 와 의 공약수라는 것은 가 와 의 공약수라는 것과 동치이다.
따라서, 이다.
(3)
(2)로부터 이다. 이므로, 이다. 또한, 이다. 따라서, 는 와 의 공약수이다. 그러므로, 이다. 그런데,이고 와 가 모두 양의 정수이므로, 이어야 한다. 위 두 부등식으로부터 이다.
따라서, 이다.
▶ 문제풀이
(존재성) 집합 을 생각하자. 집합 는 공집합이 아니고 이므로 에는 가장 작은 원소가 존재한다. 그 원소를 이라 하면 는 에 속하므로 적당한 정수 에 대하여 의 꼴로 표시된다. 즉, 이고, 이다. 만약, 라 가정하면 이므로 이다. 그러나, 이므로 이 가장 작은 원소라는 사실에 모순이다. 따라서, 이다.
(유일성) 이제 의 유일성을 보이자. 정수 과 이 를 만족시킨다고 하자. 그러면 로부터 이다. 만약, 라고 하면가 되어 모순이다. 그러므로, 이고 이다. 따라서, 와 이 유일하게 존재한다.
[증명] (난이도 상)
▶ 유사 문제1
에 대하여 이면 이다.
위의 명제를 증명하여라.
▶ 문제풀이
라고 놓으면 이다.
가 를 만족한다고 가정하자.
그러면 를 만족하는 정수 와 가 존재한다.
따라서, 이다.
그러므로 는 과 의 공약수이다. 는 최대공약수이므로 이다. 따라서, 이다. 즉, 이다. 는 와 의 유일한 양의 공약수이다. 따라서, 은 와 의 최대 공약수이다.
즉, 이다.
[증명] (난이도 하)
▶ 유사 문제2
정수 과 임의의 정수 에 대하여 이다.
위의 명제를 증명하여라.
▶ 문제풀이
만약 가 과 의 공약수이다. 역으로, 가 과 의 공약수이면, 이다. 그래서 이고, 그러므로 이다. 따라서, 는 과 의 공약수이면, 이고, 이다. 따라서, 이고 그래서, 이다. 즉, 는 과 의 공약수이다. 과 은 같은 공약수 집합을 가지므로, 두 쌍은 같은 최대공약수를 가져야 한다.
[증명] (난이도 하)
▶ 유사 문제2
임의의 양의 정수 에 대해서, 를 만족하는 정수 가 존재한다. 더욱이, 가 임의의 정수일 때, 는 의 배수이다.
위의 정리를 증명하여라.
▶ 문제풀이
집합 을 생각하자. 집합 는 자연수의 집합의 부분집합이고 공집합이 아니며, 이 집합에 속하는 가장 작은 원소를 라 하면 적당한 정수 에 대하여 이다.
이제, 가 최대공약수 와 같음을 보이면 된다. 이므로 나눗셈의 정리에 의하인 정수 와 이 존재한다.
그러면, 이므로, 이라면 이고,이 되어 가 의 가장 작은 원소라는 사실에 모순이 된다. 따라서, 이고 이다.
마찬가지로, 이다.
따라서, 이다.
한편 가 의 공약수이면 이고 이므로 , 즉 이다.
따라서, 이다. 즉, 인 정수 가 존재한다.
[증명] (난이도 상)
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