▶ 문 제

점 가 삼각형 의 한 내부의 한 점이다. 직선 ,, 가 각각 변 ,, 와 만나는 점을 ,, 라 하면 이다. 위의 명제를 증명하여라.

▶ 임쌤의 강의

기하 분야의 문제이다. 넓이비에 대한 원리만 이해하고 있으면 간단하게 해결되는 문제이다. 앞으로 소개할 정리들에 대한 기계적인 암기보다는 길이비와 넓이비에 대한 원리적 이해를 바탕으로 실전 문제에 적용하는 훈련이 필요하다.

①반 아우벨의 정리(Van Aubel`sS Theorem)

삼각형 내의 한 점 에서 만나는 세 직선 , , 가 대변과 각각 , , 에서 교차하면가 성립한다.

증명 : 삼각형의 넓이의 비에 대한 정리로부터, 이다. 위 두 식을 변변 더하면이다.

②게르곤느의 정리 (Gergonnn`s Theorem)

에서 내부의 한 점 를 잡고, 와 꼭지점 , , 를 이은 직선이 대변과 만나는 점을 각각 , , 이라 하면이다.

증명 : 삼각형의 넓이의 비에 대한 정리로부터 이다.

▶ 문제풀이

삼각형의 넓이의 비에 대한 정리로부터이다.

[정답] 증명 (난이도 하)

▶ 유사 문제1

그림과 같이 볼록 사각형 가 있다. 변 와 , 변 와 , 변 와 , 변 와 의 연장선 교점들을 각각 , , , 라 두면, 이 성립함을 증명하라.

▶ 문제풀이

삼각형 넓이의 비에 대한 정리로부터이다.

[정답] 증명 (난이도 하)

▶ 유사 문제2

와 세 변 , , 위에 각 점 , , 가을 만족한다고 하자. 세 점 , , 을 각각 선분 와 , 선분 와 , 선분 와 의 교점이라고 하자. 의 넓이를 이라고 할 때, 의 넓이를 구하여라.

▶ 문제풀이

의 넓이를 라 하자. 삼각형의 넓이의 비에 대한 정리에 의해, 이고, 이다. 주어진 조건에 의해 이므로 이다. 따라서, 이다. 즉, 이다. 마찬가지로, 임을 알 수 있다. 그러므로이다.

[정답] 증명 (난이도 중)

▣ 중등 수학경시 도전하기

▶ 문 제

함수 가 다음 두 조건

이다.

모든 실수 , 에 대하여 를 만족하는 실수 가 존재한다.

를 만족할 때, 가 상수함수임을 증명하여라.

▶ 임쌤의 강의

대수 분야의 문제이다. 기억해 두면 유용한 코시의 함수방정식과 젠센함수방정식을 소개한다.

①코시함수방정식:코시(Cauchy)에 의해 제기된 것으로 알려진 다음 네 가지 형태의 함수방정식을 코시 방정식이라고 한다.( i ) 를 만족하면 (단, 는 상수)이다.( ii ) 를 만족하면 (단, 는 양의 실수)이다.( iii ) 를 만족하면 (단, , 인 실수)이다.( iv ) 를 만족하면 (단, 은 실수)이다.

②젠센함수방정식를 만족하는 함수방정식을 젠센 함수방정식이라고 하고, 이 함수방정식의 해는이다. 단, 는 상수이다.

증명 : 라고 하자. 을 대입하면이다. 그러면, 이다. 이를 정리하면,이다.

라고 놓으면 코시 방정식 가 된다.

따라서, 이다.

따라서, 이다.

▶ 문제풀이

을 조건 에 대입하면, 이다. 그래서, 이다.을 조건 에 대입하면, 이다. 즉, 이다.를 조건 에 대입하면, 이다. 즉, 이다.따라서, 이다. 즉, 는 상수함수이다.

▶ 유사 문제1

차 다항식 가 , 을 만족할 때, 의 값을 구하여라.

▶ 문제풀이

라 두면, 는 차 다항식이고, 이다.

따라서, 인수정리에 의하여이다. 단, 는 상수이다.. 위 식의 양변에 를 대입하여 정리하면,이다. 즉, 이다. 따라서,이다. 그러므로,이다.

▶ 유사 문제2

함수 가 다음 두 조건 모든 실수 , 에 대하여, 이다.을 만족하는 실수 가 존재한다.를 만족할 때, 가 주기함수임을 증명하여라.

▶ 문제풀이

조건 에 를 대입하여 정리하면, 가 되므로 는 우함수이다. 이제 조건 에 을 대입하면, 또는 이다. 만약 이면, 을 대입했을 때, 이 되어 모든 실수 에 대하여 이다.그러면 조건 에 모순된다. 그러므로 이다. 를 조건 에 대입하면

이다. 즉, 이다. 를 조건 에 대입하면이다. 즉, , 이다. 주기가 인 주기함수이다.

<저작권자ⓒ대전일보사. 무단전재-재배포 금지>