▶ 문 제

삼각형의 세 중선의 길이를 세 변으로 갖는 삼각형의 넓이와 처음 삼각형의 넓이의 비를 구하여라.

▶ 임쌤의 강의

기하 분야의 문제이다. 지난 주에 이어서 이번 호에서는 삼각형의 무게중심, 수심, 방심에 대한 정의와 기본 성질을 살펴본다.

①삼각형의 무게중심(centroid) 은 세 중선의 교점이다.

②무게중심의 기본성질:삼각형 에서 세 변 의 중점을 각각 라 하자. 세 중선의 교점을 라 하자. 그러면 다음이 성립한다.(1) , , 이다.(2) 이다.

증명 :(1) 삼각형 에 메네라우스의 정리를 적용하면,이므로, 이다. 따라서, 이다. 같은 방법으로 삼각형 와 삼각형 에 메네라우스의 정리를 적용하면 , 이다.(2) 이므로이다. 즉, 이다. 또한, 이므로이다.

즉, 이다.

따라서,이다.

③삼각형의 수심(orthocenter)은 세 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 교점이다.

④삼각형의 방심(excenter)은 한 내각의 이등분선과 다른 두 외각의 이등분선의 교점으로 방접원의 중심이다.

▶ 문제풀이

삼각형 에서 세 변 의 중점을 각각 라 하자. 세 중선의 교점을 라 하자. 점 를 지나 에 평행한 선 위에 인 점 을 잡으면 사각형 는 평행사변형이다. 그러면, 사각형 는 평행사변형이다. 의 중점을 라 하자. 삼각형 의 세 변은 중선과 같고, 모두 중선에 평행하다. 따라서,이다.

[정답] (난이도 중)

▶ 유사 문제1

삼각형 에서 , , 이고, 변 와 접하는 방접원의 반지름을 각각 라고 할 때,가 성립함을 보여라. 단, 이다.

▶ 문제풀이

변 에 접하는 방접원의 중심을 라고 하자. 그러면,이다. 마찬가지로, 임을 알 수 있다.

[정답] 증명 (난이도 중)

▣ 중등 수학경시 도전하기

▶ 문 제

함수 는 임의의 실수 에 대하여 를 만족시킨다. 의 값을 기약분수 로 나타낼 때 의 값을 구하여라.

▶ 임쌤의 강의

대수 분야의 문제이다. 함수방정식 문제이며 이번호에서는 간단한 함수방정식 풀이에 대하여 소개한다.에 특정한 값을 대입하여 함수의 성질을 알아내거나 특정한 함수를 대입하여 추론하여 해결한다.( i ) , ,( ii ) , ,( iii ) , 를 대입하여 함수의 성질을 알아낸다.

또한, 방정식을 만족하는 함수가 가져야할 성질들은 다음과 같다.( i ) 일대일 함수 : 이면 이다.( ii ) 일대일 대응 : 일대일 함수이며, 모든 에 대하여 를 만족하는 가 존재한다.( iii ) 주기함수 : 모든 에 대하여, 이다. 여기서, 최소의 양수가 주기이다.( iv ) 기함수 : 모든 에 대하여, 이다.( v) 우함수 : 모든 에 대하여, 이다.

▶ 문제풀이

()의 양변에 대신에 를 대입하면

()가 된다. 식 를 하면이다. 양변에 을 대입하여 정리하면 이다. 따라서, , 이다.즉, 이다.

[정답] (난이도 하)

▶ 유사 문제1

함수 이 과 를 만족시킬 때, 의 값은?

▶ 문제풀이

에 을 대입하면, 이다.에 를 대입하면, 이다.에 을 대입하면, 이다.에 을 대입하면, 이다.[정답] (난이도 하)

▶ 유사 문제2

함수 는 이 아닌 실수 에 대하여 을 만족할 때, 함수 를 구하여라.

▶ 문제풀이

이라고 두자. 그러면, 이다. 이를 주어진 함수방정식에 대입하면이다. 따라서, 이다.

[정답] (난이도 하)

▶ 유사 문제3

다항식 가 , 을 만족할 때, 를 구하여라.

▶ 문제풀이

이다. 따라서, 이면,이 된다. 즉, 가 의 근이면 도 의 근이다. 따라서, 다항식 의 근이 무한히 많으므로 이다.

[정답] (난이도 중)

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