▶ 문 제

그림과 같이 인 직사각형 모양의 종이가 있다. 선분 위의 점 와 선분 위의 점 를 연결하는 선을 접는 선으로 하여, 점 의 평면 위로의 정사영이 점 가 되도록 종이를 접었다. 일 때, 두 평면 와 가 이루는 각의 크기가 이다. 의 값을 구하시오. (단, 이고, 종이의 두께는 고려하지 않는다.)

▶ 임쌤의 강의

기하 분야의 문제이다. 이면각을 묻는 문제지만 도형을 접었을 때의 기본적인 접근방식과 닮음을 잘 적용해야 풀 수 있는 문제이다. 이면각을 구하는 방법에 대해서는 다음 호에서 다각도로 설명하고 이면각의 정의를 소개한다.

직선 에서 만나는 두 반평면 , 로 이루어지는 도형을 이면각이라고 한다. 이때 직선 을 이면각의 변, 두 반평면 , 를 각각 이면각의 면이라고 한다.

이면각의 변 위의 한 점 를 지나고 직선 에 수직인 두 반직선 , 를 두 반평면 , 위에 각각 그으면 의 크기는 점 의 위치에 관계없이 항상 일정하다. 이 일정한 각의 크기를 이면각의 크기라고 한다. 일반적으로 서로 다른 두 평면이 만나서 생기는 이면각 중에서 그 크기가 크지 않은 쪽의 각을 두 평면이 이루는 각이라고 한다.

▶ 문제풀이

에서 에 내린 수선의 발을 라 하면 삼수선의 정리에 의해

두 평면 와 가 이루는 각 는 두 평면의 교선 에 수직인 와 가 이루는 각의 크기와 같다.

이제 종이를 다시 펼치면 그림과 같다.

이므로

[다른 풀이]

이므로

이므로

라 하면

한편, , 는 모두 직각삼각형이므로

,

이때, 의 평면 위로의 정사영이 이므로

[정답] (난이도 상)

▶ 유사 문제1

한 모서리의 길이가 인 정사면체 에서 선분 를 으로 내분하는 점을 , 로 내분하는 점을 라 하자. 두 평면 와 가 이루는 예각의 크기를 라 할 때, 이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)

▶ 문제풀이

두 선분 , 의 중점을 각각 , 이라 하면, 이므로

이므로

이고, 이므로

, 따라서

[정답] (난이도 하)

▣ 중등 수학경시 도전하기

▶ 문 제

주머니 속에 개의 공이 들어 있다. 이 중 개는 흰 공이고, 나머지는 검은 공이다. 흰 공에는 부터 까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있고, 검은 공에는 부터 까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있다. 이 주머니에서 임의로 하나의 공을 꺼낼 때, 흰 공이 나오는 사건을 라 하고, 홀수가 적힌 공이 나오는 사건을 라 하자. 두 사건 , 가 서로 독립이 되도록 자연수 의 값을 정할 때, 모든 의 값의 합을 구하시오. (단, 이다.)

▶ 임쌤의 강의

조합론 분야의 문제이다. 두 사건의 독립, 종속에 관한 확률 이론이다. 물론 중학교 교육과정은 아니지만 기본적인 내용을 이해하고 습득하는 것은 중요하다.

두 사건 , 에 대하여 한 사건이 일어나는 것이 다른 사건이 일어날 확률에 아무런 영향을 주지 않을 때, 즉 또는 일 때, 두 사건 , 는 서로 독립이라고 한다.

또, 두 사건이 서로 독립이 아닐 때, 두 사건은 서로 종속이라고 한다.

한편, 두 사건 , 가 서로 독립이면 확률의 곱셈정리에 의하여 가 성립한다.

역으로 이고 이면

이므로 두 사건 , 는 서로 독립이다.

따라서 두 사건 , 가 서로 독립이기 위한 필요충분조건은

(단, , )

▶ 문제풀이

의 값에 따른 확률을 구하여 표로 나타내면 다음과 같다.

를 만족할 때, 두 사건 가 서로 독립이므로 이를 만족하는 상수 의 값은 이다. 따라서 모든 의 값의 합은 이다.

[정답] (난이도 중)

▶ 유사 문제1

어느 디자인 공모 대회에서 철수가 참가하였다. 참가자는 두 항목에서 점수를 받으며, 각 항목에서 받을 수 있는 점수는 표와 같이 가지 중 하나이다. 철수가 각 항목에서 점수 를 받을 확률은 , 점수 를 받을 확률은 , 점수 를 받을 확률은 이다. 관람객 투표 점수를 받는 사건과 심사 위원점수를 받는 사건이 서로 독립일 때, 철수가 받는 두 점수의 합이 일 확률은?

▶ 문제풀이

철수가 받은 두 점수의 합이 인 경우는 다음과 같다.

따라서 구하는 확률은

[정답] (난이도 하)

▶ 유사 문제2

흰 공 개와 검은 공 개가 들어 있는 주머니에서 임의로 개씩 공을 꺼내는 시행을 반복하여 검은 공 개가 모두 나오면 이 시행을 멈추기로 할 때, 번 이상 공을 꺼낼 확률은 이다. 의 값을 구하시오. (단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.)

▶ 문제풀이

주어진 사건을 라 하면, 구하는 확률은 이다.

이므로 이다.

[정답] (난이도 중)

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