▶ 문 제
한 개의 주사위를 세 번 던져서 나온 눈의 수를 각각 a, b, c라 한다. 연립 방정식 , 이 실수해를 가질 확률을 구하시오.
▶ 임쌤의 강의
조합론 분야의 문제이다. 확률을 묻는 문제지만 확률 이론은 중요하지 않다. 확률의 정의에 의해서 간단하게 해결하면 된다. 즉, 경우의 수를 잘 구하면 된다. 물론 확률의 연산 성질을 이용하는 문제, 특이한 발상을 요구하는 문제는 난이도가 높은 문제로 분류된다.
하지만 단순히 경우의 수를 구하는 문제 유형이 수학 내적 이론과 결합되어 출제된다. 방정식의 근의 개수, 함수 분야, 기하 분야의 문제들과 결합된다. 결국은 종합적인 수학 지식이 요구된다. 모든 조합론 문제에서 요구되는 분류하여 해결하는 능력과 어려운 문제는 참신한 발상이 필요하다.
▶ 문제풀이
두 식에서 y를 소거하면 … ①
①이 실근을 갖지 않을 조건은 이고
①이 실근을 가지면 y도 실근이다.
1≤a, b, c≤6이므로 ,
∴ (a+b)≤4
a=b=1 일 때 1〈c
∴ c = 2, 3, 4, 5, 6 5가지
a=1, b=2 일 때 〈c
∴ c = 3, 4, 5, 6 4가지
a=2, b=1 일 때 〈c
∴ c = 3, 4, 5, 6 4가지
a=1, b=3 일 때 4〈c
∴ c = 5, 6 2가지
a=2, b=2 일 때 4〈c
∴ c = 5, 6 2가지
a=3, b=1 일 때 4〈c
∴ c = 5, 6 2가지
따라서 실근을 갖지 않을 확률은 =
즉 실근을 가질 확률은 1 - =
[정답] (난이도 하)
▶ 유사 문제1
오른쪽 그림과 같이 큰 정육면체를 크기가 같은 8개의 작은 정육면체로 분할하였다. 모든 꼭짓점 중에서 임의로 세 꼭짓점을 선택하여 선분으로 연결할 때, 삼각형이 만들어질 확률을 구하시오.
▶ 문제풀이
꼭짓점은 모두 27개이다. 이 중 세 점을 취하는 방법은 가지 또, 삼각형이 되지 않는 경우는 세 점이 일직선 위에 있는 경우이므로 그 가짓수를 구하면
(i) 각 모서리와 평행하게 세 점을 취할 때
가지
(ii) 각 면의 대각선 위의 세 점을 취할 때
가지
(iii) 공간의 대각선 위의 세 점을 취할 때
가지
따라서, 만들어지는 삼각형의 총 개수는
그러므로 삼각형이 될 확률은
[정답] (난이도 하)
▶ 유사 문제2
주사위를 던져서 첫 번째 나온 눈의 수를 , 두 번째 나온 눈의 수를 라 한다. 이 때, 이차함수 의 그래프가 축과 만날 확률을 구하시오.
▶ 문제풀이
의 그래프가 x축과 만나지 않을 조건은
즉
즉, 두 눈의 차가 2 미만의 경우이다.
㉠일 때, a=b인 경우
∴ 6가지
㉡ 일 때, 즉 두 눈의 차가 1인 경우
∴ 10가지
∴ 구하는 확률은 1-=
[정답] (난이도 하)
▣ 중등 수학경시 도전하기
▶ 문 제
두 자리 자연수 이 있다. 이 의 십의 자리의 수를 , 일의 자리의 수를 라 한다. 이 때, 을 만족하는 모든 을 구하시오.
▶ 임쌤의 강의
정수론 분야의 문제이다. 부정방정식 문제 유형과 흡사하게 정수의 약배수의 성질을 이용한다. 문제의 난이도가 높을수록 꼼꼼하게 분류하여 모든 경우의 수를 고려해야 한다. 인수분해가 기본이 되며 이차식이면 판별식이 완전제곱식임을 활용한다. 또한 정수를 소인수분해하여 경우의 수를 세보는 것도 한 가지 방법이 된다.
▶ 문제풀이
, 에서 이 두 자리 정수이므로 이다.
의 일의 자리의 수는 1 , 4 , 9 , 6 , 5를 갖고,
의 일의 자리의 수는 0 , 1 , 8 , 7 , 4를 갖는다.
여기서 의 일의 자리의 수와 의 일의 자리의 수를 합한 수의 일의 자리수가 가 되어야 한다.(*)인 경우 (*)를 만족하는 순서쌍 ()는 없다.
인 경우 (*)를 만족하는 순서쌍 ()는 없다.
인 경우 (*)를 만족하는 순서쌍 ()는 (2,2) , (8,2)뿐이다.
인 경우 (*)를 만족하는 순서쌍 ()는 (4,3) , (6,3)뿐이다.
인 경우 (*)를 만족하는 순서쌍 ()는 없다.
따라서 위 조건을 만족하는 순서쌍 ()는
( 2 , 2 ) , ( 4 , 3 ) , ( 6 , 3 ) , ( 8 , 2 )의 4 개다
그런데
인 경우
인 경우
인 경우
인 경우
그러므로 우리가 구하는 은 43과 63뿐이다.
[정답]43, 63 (난이도 중)
▶ 유사 문제1
방정식 을 만족하는 0이 아닌 정수 의 순서쌍 를 모두 구하시오.
▶ 문제풀이
이므로, 방정식은 이 된다.
이것을 b에 관한 이차방정식으로 생각하면 그 판별식은
이 된다.
b가 정수가 되기 위해서는 이 어떤 수 c의 제곱이 되어야만 한다.
즉, , 따라서 ,
이 되고 이것을 만족하는 정수 a, c는
뿐이다. 이 들 a의 값에 대해 b가 정수가 되는 것은
일 때이다.
[정답] (난이도 하)
▶ 유사 문제2
는 자연수이고 은 의 배수이지만 의 배수는 아니라고 하자. 이것을 만족하는 자연수 쌍 중에서 의 값이 최소인 것을 구하시오.
▶ 문제풀이
이 의 거듭제곱의 배수가 되기 위해서는 는 와 를 소인수로 가져야 하므로
단,
단,
라 놓자. 그러면 이고, 문제의 조건으로부터
이다.
그런데 가 의 배수이면 이고, 가 의 배수가 아니면 이므로 이다.
마찬가지로 이고, 따라서 이다.
그러면 이므로 , ⑴이다.
그런데 가 모두 를 약수로 가지면 이므로 이다. 따라서 중 하나는 를 약수로 가지지 않는다. 일반성을 잃지 않고 이라 하자. 그러면
이고, ⑴에서 이고, 가 되어
⑵이다.
여기서 다음 두 가지 경우를 생각해보자.
(경우1) 인 경우 : ⑵에서 이고,
, ,
이다.
그러면
그런데 , 이므로
가 되어 모순이다. 따라서 인 경우는 문제의 조건에 맞는 자연수 가 존재하지 않는다.
(경우2) 인 경우 :
, 이고,
⑴에서 이므로 , 이다.
이제 를 구해보자.
는 , 와 서로소이고 ⑴에서 , ⑵에서 이다.
일 때 이어야 하므로, 이고,
이면 이어야 하므로 이고, , ,
따라서, 인 경우 의 값이 최소인 경우는 , 일 때이다.
즉, 또는 이다.
[정답] 또는 (난이도 상)
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