▶ 문 제
에서 가 되게 D를 잡고 가 되게 E를 잡으면 가 된다. 임을 보여라.
▶ 임쌤의 강의
기하 분야의 문제이다. 증명 문제로서 다양한 접근 방법이 가능하다. 접근 방법이 다양한 만큼 어려운 문제유형이다. 일단 논증 기하적인 방법, 해석학적인 방법 중 하나를 결정해야 한다. 일단 해석학적인 방법을 선택한 경우는 좌표를 설정한 후 대수적인 계산을 해야 한다. 또한, 논증 기하적인 방법인 경우는 순수하게 기하적 사실들을 이용한 증명방법과 대수적 문제로 바꾸어 증명하는 방법도 있다. 먼저 제시한 문제는 대수적인 방법으로 마무리하는 풀이를 제시하였고, 다음의 유사문제는 기하적 사실만을 적용하여 증명하였다. 결국은 문제마다 적절한 풀이가 결정되어 있는 것은 입시적으로 명백하지만 자신만의 풀이를 정립하는 게 중요하다. 수학의 큰 두 분야인 기하와 대수의 상관관계를 학습하는 것은 현대 수학에서 매우 소중하다.
▶ 문제풀이
의 교점을 라 하고
라고 하면 가 된다. 그리고, 의 넓이를 라 하면 , 이므로
에서 가 된다.
또한 에서 이므로 가 된다.
코시슈바르츠 부등식을 이용하면
가 된다.
따라서,
[정답] 증명 (난이도 상)
▶ 유사 문제1
사각형 ABCD의 대각선 AC, BD의 중점을 각각 X, Y라 하면 다음 등식이 성립함을 증명하시오.
+++ = + +
▶ 문제풀이
△ABC, △ACD, △XBD에 중선의 정리(파푸스의 정리)를 적용하면
=(+)-() … ①
=(+)-() … ②
=(+)-() … ③
①, ②를 ③에 대입하면
=2(+)-2
=+-++-
=+++--
∴ +++=++
[정답]증명 (난이도 중)
▣ 중등 수학경시 도전하기
▶ 문 제
홀수인 소수 p에 대하여, 집합 { }의 원소 중 어떤 하나만 빼고 모두 곱한 값을 b라고 하자. b-p+1이 의 배수가 될 때, 그 빠진 수를 구하여라.
▶ 임쌤의 강의
정수론 분야의 문제이다. 순수 수학의 최고봉이며 수학에 관심 있는 전 세계 모든 사람들이 평생에 연구하는 분야이기도 하다. 개인적으로는 우리나라의 입시 수학에 쏠린 관심에 비하면 매우 등한시 되고 있는 분야로 생각된다. 초반부의 이론은 접근이 용이하기는 하나 점진적으로 매우 치밀하고 고도의 순수함을 필요로 하는 분야이기 때문이다. 정수에 대한 열정과 체계적인 학습이 필요한 경시 분야이다. 현실적으로 출제되는 문제를 해결하기 위해서는 교육과정과는 별도의 학습이 필요하다. 경시 수학과 관련된 정수론 책을 참고하여 정수의 합동식, 소수에 관한 정리 등에 관한 학습과 문제 풀이가 요구된다.
▶ 문제풀이
,
여기서 은 이하의 자연수 중에서 와 서로 소인 것들 (즉, 의 배수가 아닌 것들)의 개수이다. 중에서 를 만족시키는 것은 과뿐이다.
(∵ 에서 , 을 동시에 만족한다면 가 되어 모순.)
∴ 또는
따라서 1과 이외에는 모두 로 짝지워진다.
단, , ,
∴ A의 원소를 모두 곱하면 이다.
왜냐하면, 1과 를 제외한 다른 것들을 위에서처럼 둘 씩 짝 지워 곱하면, 가 되기 때문이다.
이제 빠진 수를 라 하면 이므로
을 양변에 곱하면
[정답] (난이도 상)
▶ 유사 문제1
모든 자연수 a에 대하여 는 42의 배수임을 증명하시오.
▶ 문제풀이
(ⅰ) 연속한 두 자연수의 곱은 2의 배수이고 연속한 세 자연수의 곱은 3의 배수이다.
따라서 2, 3은 서로 소이므로 은 6의 배수이다. 즉 A는 6의 배수이다.
(ⅱ) 이면 는 7의 배수
이면 은 7의 배수
이면 인 꼴의 수이므로 은 7의 배수
이면 = = 인 꼴의 수이므로 은 7의 배수
이상을 종합하면 임의의 자연수 a에 대하여 A는 7의 배수
(ⅰ), (ⅱ)에서 6, 7은 서로 소이므로 A는 6×7=42의 배수이다.
[정답]증명 (난이도 하)
▶ 유사 문제2
나열된 개의 실수 에서 임의의 연속된 개항의 합은 양수이고, 임의의 연속된 개항의 합은 음수이다. 이 때,
①임을 증명하여라
②일 때의 예를 들어라
▶ 문제풀이
①라 가정하자. 아래의 표에서
매 행의 개항의 합은 양수이므로 표에 있는 개 항의 합은 양수이다. 또한 매 열의 개항의 합은 음수이므로 표에 있는 개항의 총합도 음수이다. 이는 모순이다.
이다.
②
[정답]증명 (난이도 중)
▶ 유사 문제3
가 홀수이면, 이차방정식 은 유리수해를 가질 수 없음을 보여라.
▶ 문제풀이
는 짝수)라고 하면,주어진 방정식은 가 된다.이 방정식이 유리수해 을 가진다고 가정하면(은 서로소인 정수)
좌변은 짝수, 우변은 홀수가 되어 모순.
(의 근의 공식에서 가 제곱수가 아님을 보여도 됨)
[정답]증명 (난이도 하)
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