>>>>> 문 제

길이가 5, 6, 7인 곧은 철사가 2개씩 있다. 서로 끝점을 연결해서 사면체를 만든다.

다음 물음에 답하여라.

(1) 몇 가지 종류의 사면체가 만들어지는가? (회전이 가능한 것으로 한다)

(2) (1)에서 합동인 삼각형이 가장 많이 있는 사면체에서의 부피를 구하여라.

>>>>> Check Point

영재고 창의적 문제해결력 검사의 전형적인 유형의 문제이다. 영재성을 가진 대부분의 학생들이 기하와 조합영역에서 재능을 보이는 경향이 많기 때문에 이러한 문제가 출제된다고 본다. 기하와 조합영역이 부족하다고 하여 영재성이 없는 것은 아니니 오해 없기를 바란다. 천재는 99%가 노력이라는 말을 생각하며 오늘도 부지런히 노력하기 바란다.

본 문제는 주어진 철사로 만들 수 있는 서로 다른 사면체의 종류를 묻고 있다. 합동인 것은 하나로 생각하면 서로 다른 종류는 몇 개가 나타나는 지 묻고 있다. 평면에 그려지는 그림을 입체적으로 생각하여 같고 다름을 구별 할 수 있는 공간지각 능력을 요구하고 있다. 그 다음은 도형을 성질을 이용하여 실제로 주어진 사면체의 부피를 구할 수 있는지 묻고 있다. 중등과정에서 공간좌표를 배우지는 않으나 직육면체상에서 생각하면 피타고라스의 정리를 이용하여 넓이와 높이를 측정할 수 있다. 분류를 정확히 하여 같고 다름을 구별하는 능력과 정확한 측정을 요구하는 기하와 조합의 융합형 문제이다. 난이도 최상이다.

>>>>> 문 제 풀 이

(1) 우선 각 변이 동일하게 두 개씩 있으므로 그 중 하나인 6을 기준으로 살펴보자.

i) 밑면에 6이 두개인 경우, 즉, 6, 6, 5 와 같은 경우 5, 7, 7이 나머지 변이 되는데 이 때, 반드시 5, 6, 7인 면을 갖게 된다.

ii) 또한 밑면에 6이 하나인 경우, 즉, 6, 5, 5와 같은 경우 6, 7, 7이 나머지 변이 되는데 이 때도 마찬가지로 5, 6, 7인 면을 갖게 된다. 다른 변을 기준으로 봤을 때도 이와 같이 모든 경우 어쨌든 적어도 서로 다른 변(5, 6, 7)을 가지는 삼각형이 존재한다.

iii) 따라서 밑면을 5, 6, 7이라고 하고 각뿔의 꼭지점에서 아래의 각 꼭지점에 긋는 세 선에 나머지 5, 6, 7을 회전시켜 배열하는 방법의 수를 구하면 된다. 3!=6가지

(2) 가장 합동이 많이 있을 4개까지 있다. 다음의 사면체 경우이다.

이 사면체의 부피를 구하기 위해 좌표를 이용하자. 먼저 밑면의 좌표를

(0, 0),(6, 0),(a, b)라 하자.

a10+b10=710=49, (a-6)10+b10=510=25

연립하여 계산하면 빼면 12a=60 이고, a=5,b=2√6 을 얻는다.

밑넓이는 헤론의 공식에 의해서 S= 9(9-5)(9-6)(9-7)=6√6 이 된다.

이제 높이를 구하기 위해 공간의 좌표를 이용하자.

x10+y10+z10=510

(x-6)10+y10+z10=710

(x-5)10+(y-2√6)10+z10=610

연립을 하면 x=1, y= 따라서

정답:2√95

◇ 영재교육원 도전하기

>>>>> 문 제

자동차 A, B 두 대가 같은 지점에서 동시에 출발하여 동일한 방향을 따라 같은 속도로 직진한다. 차마다 휘발유를 최대 21통까지 가질 수 있고 도중에 다른 휘발유를 쓸 수 없다. 한 통의 휘발유로 30km을 갈 수 있고, 두 차는 반드시 출발지점으로 돌아와야 한다. 그러나 동시에 돌아오지 않아도 된다. 두 차는 서로 상대방의 휘발유를 빌릴 수 있다. 두 대의 차중 한 대를 출발지점에서 가장 먼 지점까지 왕복하려고 할 때, 가장 멀리 간 차가 움직인 거리는 얼마인가?

>>>>> Check Point

속력과 거리, 시간에 대한 문제는 우리의 일상생활과도 밀접한 관련이 있기에 수학을 공부하면서 많이 접하는 문제이다. 수학에서는 다른 변수나 상황을 고려하지 않고 순수하게 떨어진 거리, 가는 속력, 걸린 시간 사이의 관계를 알아보고 그에 알맞은 값을 찾는다. 가장 기본적인 내용을 익히는 것이다. 이를 바탕으로 과학에서는 여러 변수들을 추가하여 실제로 나타나는 속력과 거리 시간 등의 관계를 명확히 규명해 내려고 한다. 그렇기에 수학을 잘 하는 학생이 과학 공부도 수월하게 하는 경향이 있다.

본 문제는 기본적이 속력문제에서 변형된 형태이다. 제한된 연료 상황에서 가장 먼 거리를 왕복 할 수 있는지를 묻고 있다. 어떤 도움도 없이 혼자서 왕복한다고 하면 아주간단한 문제가 되지만 A가 B를 돕는 상황이면 좀 더 멀리 갈 수 있다. 이 원리를 잘 생각하면 미지의 세계나 우주를 탐사하는데 있어서도 창의적인 아이디어가 나오지 않을까 생각된다.

풀이의 아이디어를 생각해보면 A는 다시 돌아올 연료만 남기고 B에게 모두 주면 된다. 그런데 B의 차에는 21통의 연료만 실을 수 있으므로 A가 아무리 많이 주어도 소용없다. 그렇다면 A가 주는 연료를 B가 모두 실을 수 있는 지점까지 같이 가야함을 알 수 있다.

연료를 제한적으로 싣게되는 상황과 왕복해야한다 조건을 모두 충족시켜야하므로 생각이 필요하다. 좋은 접근방법은 노트에 그림을 그려가며 여러 상황을 만들어 보고 그 속에서 방향과 방법을 찾는 것이라 하겠다. 난이도는 중상이다.

>>>>> 문 제 풀 이

A, B가 출발할 때 각각 χ,y통의 휘발유를 가지고 있고, 또 A가 먼저 도착 할 때까지 ｚ통의 휘발유를 사용하였다고 하자. 이 때 돌아오는 길에서 사용할 ｚ통을 제외한 나머지 χ-2ｚ통을 B에게 빌려준다. 이 때, B는 21통의 휘발유를 가지고 있게 된다.

그러므로 (y-ｚ)+(χ-2ｚ)=21이다. 즉 z=-7 이다. χ=y=21일 때 가장 멀리 갈 수 있으므로 대입하면 된다. 따라서 A는 14통의 휘발유를 사용하였고, B는 28통의 휘발유를 사용했다고 볼 수 있다. 그러므로 A가 출발점에서 210㎞떨어진 곳에서 돌아올 때, B는 420㎞떨어진 곳에서 돌아오기 때문에 840㎞ 움직였다. 정답 :840㎞

>>>>> 유 사 문 제

지호네 자동차는 시속 60㎞로 달릴 때 휘발유 1ℓ로 12㎞를 가고, 시속 100㎞로 달릴 때는 휘발유 1ℓ로 10㎞를 간다. 이 차를 타고 A도시에서 B도시까지 가는데 걸린 시간과 휘발유 사용양이 오른쪽 그림과 같다. 일반도로로는 시속 60㎞로 달리고, 고속도로는 시속 100㎞로 달렸을 때, A도시에서 B도시까지의 거리는 몇 ㎞인가?

[풀이]

그래프에서 기울기가 큰 곳이 고속도로 구간이고 작은 곳이 일반도로 구간이다.

①A도시에서 고속도록 입구까지 휘발유 사용양이 0.5ℓ이므로 거리는 12×0.5=6(㎞)이고, 걸린 시간은 =0.1(시간)이다.

②고속도로 구간 : 고속도로를 2.1-0.1=2(시간)달렸고, 그 거리는 2×100=200(㎞)이다. 그러므로 이때 소요된 휘발유의 양은 200÷10=20(ℓ)이다.

③고속도로 출구에서 B도시까지 : 휘발유 사용양이 21.5-20-0.5=1(ℓ)이고, 이 때의 거리는 12㎞이다.

따라서 구하는 거리는 6+200+12=218(㎞)이다.

정답 : 218㎞

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